Calcule o determinante, com o auxílio da regra de Chió.

Gbg escreveu:[latex]\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 \\ a &b &c \\ a^{3} &b^{3} &c^{3} \end{vmatrix}\rightarrow \begin{vmatrix} b-(a*1) &c-(a*1) \\ b^{3}-(a^{3}*1) &c^{3} -(a^{3}*1) \end{vmatrix}\rightarrow \begin{vmatrix} b-a &c-a \\ b^{3}-a^{3}&c^{3}-a^{3} \end{vmatrix}\rightarrow det M=(b-a)(c^{3}-a^{3})-(b^{3}-a^{3})(c-a)\rightarrow detM=(b-a)(c-a)(c^{2}+ac+a^{2})-(b-a)(b^{2}+ab+a^{2})(c-a)\rightarrow detM=(b-a)(c-a)[(c^{2}+ac+a^{2})-(b^{2}+ab+a^{2})]\rightarrow detM=(bc-ab-ac+a^{2})(c^{2}-b^{2}+ac-ab)\rightarrow detM=bc^{3}-b^{3}c+abc^{2}-ab^{2}c-abc^{2}+ab^{3}-a^{2}bc+a^{2}b^{2}-ac^{3}+ab^{2}c-a^{2}c^{2}+a^{2}bc+a^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}+a^{3}c-a^{3}b\rightarrow detM=bc^{3}-b^{3}c+ab^{3}-ac^{3}+a^{3}c-a^{3}b\rightarrow detM=a^{3}(c-b)+bc(c^{2}-b^{2})-a(c^{3}-b^{3})\rightarrow detM=(c-b)(-ac^{2}-abc-ab^{2}+a^{3}+bc^{2}+b^{2}c)\rightarrow detM=(c-b)(b^{2}(c-a)+bc(c-a)-a(c^{2}-a^{2}))\rightarrow detM=(c-b)(c-a)(b^{2}-a^{2}+bc-ac)\rightarrow detM=(c-b)(c-a)((b-a)(b+a)+c(b-a))\rightarrow detM=(c-b)(c-a)(b-a)(a+b+c)[/latex]

Giovana Martins escreveu:

Veja se dá para entender. Se houver dúvidas, avise.

[latex]\\\begin{vmatrix} \mathrm{b-a\cdot 1} &\mathrm{c-a\cdot 1} \\ \mathrm{b^3-a^3\cdot 1} & \mathrm{c^3-a^3\cdot 1} \end{vmatrix}=\mathrm{(b-a)(c^3-a^3)-(c-a)(b^3-a^3)}\\\\ \mathrm{=(b-a)(c-a)(c^2+ac+a^2)-(c-a)(b-a)(b^2+ab+a^2)}\\\\ \mathrm{(b-a)(c-a)(c^2+ac+a^2-b^2-ab-a^2)}\\\\ \mathrm{=(b-a)(c-a)(c^2+ac-b^2-ab)=(b-a)(c-a)[c^2-b^2+a(c-b)]}\\\\ \mathrm{=(b-a)(c-a)[(c+b)(c-b)+a(c-b)]=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)}[/latex]