Soluções inteiras positivas

por mhope Ter 19 Mar 2024, 20:29

Quantas são as soluções inteiras positivas da inequação 7 ≤ x+y+z ≤ 9 ?

*Não tenho o gabarito

por Pealkay Qua 20 Mar 2024, 10:30

Temos, primeiramente, como (x,y,z) podendo ser: (y,x,z), (z,y,z)...Logo teremos 6 possibilidades de cada posição dos números. (3!)
Dito isso, vamos lá, trabalharemos em 3 partes.

I) SE O RESULTADO FOR 7

teremos: (1,2,4) ; (1,3,3) ; (2,2,3) ; (1,1,5) e, cada um, com suas respectivas e diferentes posições, assim, teremos: 4 casos com 6 variações --> 6.4 = 24

II) SE O RESULTADO FOR 8

teremos: (1,2,5) ; (2,2,4) : (1,3,4) ; (1,1,6) ; (3,3,2) --> 5 casos com 6 variações --> 5.6 = 30

III) SE O RESULTADO FOR 9

teremos: (1,2,6) ; (2,2,5) ; (1,3,5) ; (1,1,7) ; (3,3,3) ; (4,4,1) --> 6 casos com 6 variações --> 36

Espero ter ajudado

por mhope Qua 20 Mar 2024, 15:29

Pealkay escreveu:Temos, primeiramente, como (x,y,z) podendo ser: (y,x,z), (z,y,z)...Logo teremos 6 possibilidades de cada posição dos números. (3!)
Dito isso, vamos lá, trabalharemos em 3 partes.

I) SE O RESULTADO FOR 7

teremos: (1,2,4) ; (1,3,3) ; (2,2,3) ; (1,1,5) e, cada um, com suas respectivas e diferentes posições, assim, teremos: 4 casos com 6 variações --> 6.4 = 24

II) SE O RESULTADO FOR 8

teremos: (1,2,5) ; (2,2,4) : (1,3,4) ; (1,1,6) ; (3,3,2) --> 5 casos com 6 variações --> 5.6 = 30

III) SE O RESULTADO FOR 9

teremos: (1,2,6) ; (2,2,5) ; (1,3,5) ; (1,1,7) ; (3,3,3) ; (4,4,1) --> 6 casos com 6 variações --> 36

Espero ter ajudado

Quando há repetições de números (1,3,3), (2,2,4), (2,2,5) etc, temos que fazer permutação de três com duas repetições ([latex]{P_{3}}^{2}[/latex]), não? Ali você considerou que não há repetição ([latex]P_{3}^{}[/latex] = 3! = 6)
*E na situação (3,3,3) a permutação é 3!/3!=1, não?

por **petras** Qua 20 Mar 2024, 18:25

mhope escreveu:
Pealkay escreveu:Temos, primeiramente, como (x,y,z) podendo ser: (y,x,z), (z,y,z)...Logo teremos 6 possibilidades de cada posição dos números. (3!)
Dito isso, vamos lá, trabalharemos em 3 partes.

I) SE O RESULTADO FOR 7

teremos: (1,2,4) ; (1,3,3) ; (2,2,3) ; (1,1,5) e, cada um, com suas respectivas e diferentes posições, assim, teremos: 4 casos com 6 variações --> 6.4 = 24

II) SE O RESULTADO FOR 8

teremos: (1,2,5) ; (2,2,4) : (1,3,4) ; (1,1,6) ; (3,3,2) --> 5 casos com 6 variações --> 5.6 = 30

III) SE O RESULTADO FOR 9

teremos: (1,2,6) ; (2,2,5) ; (1,3,5) ; (1,1,7) ; (3,3,3) ; (4,4,1) --> 6 casos com 6 variações --> 36

Espero ter ajudado

Quando há repetições de números (1,3,3), (2,2,4), (2,2,5) etc, temos que fazer permutação de três com duas repetições ([latex]{P_{3}}^{2}[/latex]), não? Ali você considerou que não há repetição ([latex]P_{3}^{}[/latex] = 3! = 6)
*E na situação (3,3,3) a permutação é 3!/3!=1, não?

Para soluções inteiras positiva podemos usar a fórmula
x1+x2+x3+...xk=n

C_{k-1, n-1}
[latex]\\x+y+z = 7 \implies C6,2 = 15\\ x+y+x =8\implies C7,2 = 21\\ x+y+z = 9 \implies C8,2 = 28\\ \therefore 15+21+28 = \boxed{64}[/latex]