Combinação e Permutação em Senha de Banco

Um banco pede aos clientes que criem uma senha pessoal de oito caracteres para as suas transações bancárias. O gerente do banco sugere aos clientes que usem três letras maiúsculas, idênticas ou não, do nosso alfabeto, e cinco algarismos em suas senhas, distintos ou não. Um dos clientes desse banco, o Sr. Cláudio, decidiu que a sua senha seria composta de três letras idênticas, exatamente a letra A, e o restante dos caracteres seria composto de algarismos distintos escolhidos de um grupo que vai de 0 a 9. Veja a seguir exemplos de algumas dessas possíveis senhas.

O banco possui um programa de computador que calcula o total de todas as senhas possíveis, pois assim ele tem um controle do número de clientes que poderão usá-las. Qual seria o total de clientes desse banco que poderiam usar senhas de mesmo padrão que a do Sr. Cláudio?
a)[latex]\frac{10!}{5!}\cdot \frac{8!}{3!}[/latex]


b)[latex]\frac{10!}{5!5!}\cdot 8![/latex]


c)[latex]\frac{10!}{5!5!}\cdot \frac{8!}{3!}[/latex]  

d)[latex]\frac{13!}{5!8!}[/latex]


e)[latex]8![/latex]

Gabarito:

Uma vez que a ordem sim importa, já que a senha, por exemplo, 036 é diferente da senha 306, por quê a resposta correta utiliza de combinação para rearranjar os números da senha? Não seria correto utilizar um arranjo simples para permutar os algarismo e letras? No caso, [latex]\frac{10!}{5!}\cdot \frac{8!}{3!}[/latex] ?

Total de posibilidades de escolha dos 5 algarismos entre 10 ---> C(10, 5) = 10!/5!.5!

Agora devemos permutar os 8 caracteres, sendo 3 repetidos: 8!/3!

Elcioschin escreveu:Total de posibilidades de escolha dos 5 algarismos entre 10 ---> C(10, 5) = 10!/5!.5!

Agora devemos permutar os 8 caracteres, sendo 3 repetidos: 8!/3!

Por que usaste combinação simples para escolher os algarismos?

Porque existem 10 algarismos diferentes e devemos escolher 5. Nesta escolha eu não me preocupei com a ordem dos algarismos.

Posteriormente, devemos acrescentar as 3 letras iguais e fazer a permutação com repetição. Ao fazer isto teremos todas as ordenações possíveis.