Equação trigonometrica unfior

por Mael0912 Ter 30 Jan 2024, 09:48

Para todo número inteiro o conjunto solução de[tex3](\cos x + \text{sen}x)^4 = 0[/tex3]é o conjunto dos números reais
iguais a:

Gabarito :

por **Giovana Martins** Ter 30 Jan 2024, 18:31

Se houver dúvidas, avise.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left [ cos(x)+sin(x) \right ]^4=0\to |cos(x)+sin(x)|=0\to \left | sin\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )+sin(x) \right |=0}\\\\ \mathrm{Por \ Prostaf\acute{e}rese:\left | 2sin\left ( \frac{\pi }{4} \right )cos\left ( \frac{\pi }{4}-x \right ) \right |=0\to \left | \sqrt{2}cos\left ( \frac{\pi }{4}-x \right ) \right |=0\to \left | cos\left ( \frac{\pi }{4}-x \right ) \right |=0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Graficamente:S=\left \{ x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in \mathbb{Z} \right \}}[/latex]

por **tales amaral** Ter 30 Jan 2024, 18:45

https://pir2.forumeiros.com/t150465-o-truque-do-triangulo-retangulo

Outra forma (com o truque acima):

[latex]
\begin{align*}
\cos x + \sin x &=\sqrt{2} \cdot \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin x \right)\\~\\
&=\sqrt{2} \cdot \left( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \cdot \cos x +\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\cdot \sin x \right) \\~\\
&= \sqrt{2}\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)
\end{align*}
[/latex]

por Mael0912 Ter 30 Jan 2024, 18:51

Giovana Martins escreveu:
Se houver dúvidas, avise.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left [ cos(x)+sin(x) \right ]^4=0\to |cos(x)+sin(x)|=0\to \left | sin\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )+sin(x) \right |=0}\\\\ \mathrm{Por \ Prostaf\acute{e}rese:\left | 2sin\left ( \frac{\pi }{4} \right )cos\left ( \frac{\pi }{4}-x \right ) \right |=0\to \left | \sqrt{2}cos\left ( \frac{\pi }{4}-x \right ) \right |=0\to \left | cos\left ( \frac{\pi }{4}-x \right ) \right |=0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Graficamente:S=\left \{ x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in \mathbb{Z} \right \}}[/latex]

sou não entendi a parte do resultado

por **Giovana Martins** Qua 31 Jan 2024, 19:56

Mael0912 escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Se houver dúvidas, avise.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left [ cos(x)+sin(x) \right ]^4=0\to |cos(x)+sin(x)|=0\to \left | sin\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )+sin(x) \right |=0}\\\\ \mathrm{Por \ Prostaf\acute{e}rese:\left | 2sin\left ( \frac{\pi }{4} \right )cos\left ( \frac{\pi }{4}-x \right ) \right |=0\to \left | \sqrt{2}cos\left ( \frac{\pi }{4}-x \right ) \right |=0\to \left | cos\left ( \frac{\pi }{4}-x \right ) \right |=0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Graficamente:S=\left \{ x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in \mathbb{Z} \right \}}[/latex]

sou não entendi a parte do resultado

O que eu fiz foi o seguinte:

[latex]\\\mathrm{cos\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )=0=cos\left ( \frac{\pi}{2} \right )\ \therefore\ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in \mathbb{Z}}[/latex]

Note que para k = {0, ±1, ±2, ±3, ...} os arcos variam de pi em pi, porém, conforme você atribui os valores de k, às vezes você irá obter valores negativos, os quais estão abaixo do eixo x e devem ser rebatidos simetricamente para cima em relação ao eixo x, pois temos o módulo da função, motivo pelo qual a função não assumirá valores negativos.

Veja que a parte em verde eu rebati simetricamente para cima. Se persistirem as dúvidas, avise. Note que -pi/4 é côngruo de 3pi/4.

por Mael0912 Qua 31 Jan 2024, 21:41

Giovana Martins escreveu:
Mael0912 escreveu:
Giovana Martins escreveu:Se houver dúvidas, avise.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left [ cos(x)+sin(x) \right ]^4=0\to |cos(x)+sin(x)|=0\to \left | sin\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )+sin(x) \right |=0}\\\\ \mathrm{Por \ Prostaf\acute{e}rese:\left | 2sin\left ( \frac{\pi }{4} \right )cos\left ( \frac{\pi }{4}-x \right ) \right |=0\to \left | \sqrt{2}cos\left ( \frac{\pi }{4}-x \right ) \right |=0\to \left | cos\left ( \frac{\pi }{4}-x \right ) \right |=0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Graficamente:S=\left \{ x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in \mathbb{Z} \right \}}[/latex]

sou não entendi a parte do resultado

O que eu fiz foi o seguinte:

[latex]\\\mathrm{cos\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )=0=cos\left ( \frac{\pi}{2} \right )\ \therefore\ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in \mathbb{Z}}[/latex]

Note que para k = {0, ±1, ±2, ±3, ...} os arcos variam de pi em pi, porém, conforme você atribui os valores de k, às vezes você irá obter valores negativos, os quais estão abaixo do eixo x e devem ser rebatidos simetricamente para cima em relação ao eixo x, pois temos o módulo da função, motivo pelo qual a função não assumirá valores negativos.

Veja que a parte em verde eu rebati simetricamente para cima. Se persistirem as dúvidas, avise. Note que -pi/4 é côngruo de 3pi/4.

obg giovanna