(ITA-1963) Número 1 está entre os zeros do trinômio

por **Jigsaw** Qua 25 Out 2023, 10:34

1.4 – Quais as condições a que deve satisfazer [latex]m[/latex], para o número 1 está entre os zeros do trinômio

[latex]mx^2-2(m+1)x+m^2[/latex]?

Spoiler:

por **Giovana Martins** Sáb 28 Out 2023, 08:39

Para maior entendimento do que foi feito abaixo, sugiro ver o capítulo "Comparação de um número real com as raízes da equação do 2º grau" presente na 9^a edição do livro Fundamentos da Matemática Elementar Conjuntos e Funções Volume 1 cuja editora é a Atual Editora. Na 9^a edição da coleção, capítulo VII, item XIII, página 172 há uma explicação acerca do que foi feito abaixo.

Sejam x' e x'' as raízes de f(x) = mx² - 2(m + 1)x + m². Para que x' < 1 < x'', devemos ter mf(1) < 0.

Deste modo: m³ - m² - 2m < 0, o que acarreta m < - 1 U 0 < m < 2.

Eu poderia explicar por aqui, mas no caso eu explicaria somente em relação ao conteúdo desta questão e, neste caso, haveria a perda da generalidade do tema, que é importante para o entendimento completo da questão. Trata-se de um assunto um pouco complicado. É melhor ver pelo livro mesmo, o qual apresenta os demais casos possíveis de problemas deste tipo.

Penso que seja isto!

Nota: os "zeros" aos quais o enunciado se refere corresponde às raízes da função do segundo grau presente no enunciado.

por **Giovana Martins** Sáb 28 Out 2023, 08:58

Para quem tiver interesse, segue um applet do comportamento da função f(x) conforme m varia. Clique no controle deslizante indicado abaixo e faça-o variar.

Ver link: https://www.geogebra.org/classic/q53n4bds