(ITA-1961) Volume de um cone equilátero

por **Jigsaw** Dom 22 Out 2023, 14:23

4 – Sabendo-se que o volume de um cone equilátero circunscrito a uma esfera é [latex]3\pi R^3[/latex] (onde [latex]R[/latex] é o raio da esfera), procurar uma relação entre esse volume, o da esfera e o do cilindro (reto) circunscrito à esfera.

Spoiler:

por **Elcioschin** Dom 22 Out 2023, 20:00

Seja AB = D = 2.r o diâmetro do cone e V o seu vértice ---> AV = BV = 2.r
Seja M o ponto médio de AB ---> AM = BM = r ---> AM = H (altura do cone)
Seja O o centro da esfera inscrita e baricentro do triângulo VAB

Desenhe o cone e a esfera e trace os raios OM, ON, OP = R, sendo N em AV e P em BV

AN = VN = BP = VP = r (r > R)

A^VB = BÂV = = A^BV = 60º ---> A^VM = B^VM = 30º

NÔB = 60º ---> tg60º = VN/ON ---> √3 = r/R ----> r = √3.R

MV = AV.cosA^VM ---> H = 2.r.cos30º ---> H = 2.√3.R/2 ---> H = √3.R

Volume do cone ---> Vc = (pi.r²).H/3 ---> 3.pi.R³ = pi.(√3.R)².R³/3 ---> Calcule R

Ve = (4/3).pi.R³

V(cil) = Sb.H ---> Vc = pi.r².H ---> Calcule

por **petras** Dom 22 Out 2023, 22:41

Elcioschin escreveu:Seja AB = D = 2.r o diâmetro do cone e V o seu vértice ---> AV = BV = 2.r
Seja M o ponto médio de AB ---> AM = BM = r ---> AM = H (altura do cone)
Seja O o centro da esfera inscrita e baricentro do triângulo VAB

Desenhe o cone e a esfera e trace os raios OM, ON, OP = R, sendo N em AV e P em BV

AN = VN = BP = VP = r (r > R)

A^VB = BÂV = = A^BV = 60º ---> A^VM = B^VM = 30º

NÔB = 60º ---> tg60º = VN/ON ---> √3 = r/R ----> r = √3.R

MV = AV.cosA^VM ---> H = 2.r.cos30º ---> H = 2.√3.R/2 ---> H = √3.R

Volume do cone ---> Vc = (pi.r²).H/3 ---> 3.pi.R³ = pi.(√3.R)².R³/3 ---> Calcule R

Ve = (4/3).pi.R³

V(cil) = Sb.H ---> Vc = pi.r².H ---> Calcule

Como o cilindro é circunscrito a esfera, sua altura não seria 2R diferente de H(altura do cone)?)

por **Medeiros** Dom 22 Out 2023, 23:26

Ah, copiei o enunciado para desenhar e responder com mais espaço e o volume 3.pi.R³ dado não veio, então acabei por fazer contas a mais desnecessariamente.