(ITA-1957) Geometria Espacial

9) Dado o tetraedro regular [latex]ABCD[/latex], tomam-se os pontos médios [latex]E[/latex] de [latex]BC[/latex], [latex]F[/latex] de [latex]AC[/latex], [latex]G[/latex] de [latex]AD[/latex], [latex]H[/latex] de [latex]BD[/latex]. Mostre que o quadrilátero [latex]EFGH[/latex] é um quadrado.

Spoiler:

ET = Devido ao DESENHO ORIGINAL estar um pouco comprometido, tentei fazer uma RÉPLICA, inclusive levando-se em conta que, os PONTOS MÉDIOS indicados no enunciado não estarem, exatamente, no ponto médio do desenho.

Seu desenho está muito bom, facilitou bastante meu aproveitamento dele.

tetraedro regular  --->  4 triângulos equiláteros
seja 2a a aresta desses triângulos.
Devido segmentos traçados a partir dos pontos médios, as linhas em vermelho são bases médias dos respectivos triângulos, portanto sua medida é a.

Até agora podemos concluir que o quadrilátero EFGH é equilátero. Para mostrar ser quadrado precisamos provar uma das duas hipóteses:
1) as diagonais têm mesma medida, i.e., EG = FH. Como o quadrilátero já é equilátero, se as diagonais forem iguais isso só acontece se também for quadrado, caso em que as diagonais serão perpendiculares;
2) os ângulos internos são de 90º.

A hipótese (1) é mais imediata pois as diagonais são as distâncias entre arestas reversas ortogonais do tetraedro; são, portanto, perpendiculares às arestas. Duas vezes o teorema de Pitágoras resolve isso.

Mas adotamos mostrar a hipótese (2).



Com a mesma diagonal (indicada no desenho) podemos resolver para o triângulo EFH e, analogamente, iremos obter 90º para o ângulo E. Isto já define os 4 ângulos do EFGH como retos mas, querendo, pode-se executar a mesma mecânica para a diagonal EG e o resultado será o mesmo.

Portanto EFGH é quadrado.