xadrez

O xadrez de Fisher é uma modalidade de xadrez em que as peças que não sejam peões, ou seja, as torres, os cavalos, os bispos, a dama e o rei, são embaralhadas de maneira aleatória, porém, seguindo duas regras: os dois bispos devem cair em casas de cor oposta e o rei deve ficar entre as torres mas os três não precisam estar lado a lado. De quantas maneiras é possível rearranjar essas peças?


Resposta: 960

Vamos começar organizando os bispos, já que cada um é independente do outro, já que um é de casas claras e outro de casas escuras. Cada um deles tem 4 possibilidades de casas onde pode ficar.

Vamos pensar agora na dama. Não existe nenhuma restrição com relação à casa que ela pode ficar. No entanto, nossos bispos já foram organizados, de tal forma que agora, ao invés de ter 8 casas disponíveis, a dama só possui 6 delas.

Os cavalos também não possuem restrição de onde podem ser posicionados. No entanto, temos 3 casas já ocupadas (duas delas por bispos, e uma pela nossa dama). Portanto, temos 5 casas disponíveis para posicionarmos 2 cavalos. O ponto chave aqui é perceber que os cavalos não se diferenciam, pois, para os objetivos do jogo, ambos exercem a mesma função, se movimentam da mesma forma, etc. Dessa forma, podemos tratar os dois cavalos como elementos exatamente iguais para o nosso objetivo. Assim, para descobrirmos quantas são as maneiras possíveis de organizá-los, devemos fazer a combinação: 5!/2!(3-2)!. O que nos leva a concluir que existem 10 maneiras possíveis de organizar os cavalos nas 5 casas.

Por fim, sobram 3 casas para organizarmos as torres e o rei. Contudo, o rei sempre deve estar entre as duas torres, e assim, existe apenas uma única forma de organizar essas 3 peças nas 3 casas de tal forma que essa condição seja cumprida.

Temos então que a quantidade de maneiras possíveis para arranjar as peças é:

P = 4 x 4 x 6 x 10 x 1 = 960