(IME 1968) - Polígonos
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por JpGonçalves_2020 Sex 11 Ago 2023, 23:54
A figura mostra um octógono regular [latex]MNPQRSTU[/latex], e um quadrado construído tendo por base o lado [latex]MN[/latex]. Sabendo que a distância entre o centro do círculo inscrito no octógono e o ponto de intersecção das diagonais do quadrado é [latex]a[/latex], dê a área do quadrado em função de [latex]a[/latex].
- Gabarito:
- [latex]2a^{2}(3-2\sqrt{2})[/latex]
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Re: (IME 1968) - Polígonos
por petras Sáb 12 Ago 2023, 01:30
JpGonçalves_2020 escreveu:A figura mostra um octógono regular [latex]MNPQRSTU[/latex], e um quadrado construído tendo por base o lado [latex]MN[/latex]. Sabendo que a distância entre o centro do círculo inscrito no octógono e o ponto de intersecção das diagonais do quadrado é [latex]a[/latex], dê a área do quadrado em função de [latex]a[/latex].
- Gabarito:
[latex]\\\triangle UAC: sen 45^o = \frac{x+\frac{l}{2}}{l+\frac{l\sqrt2}{2}} \implies x = \frac{l\sqrt2}{2}\\ \frac{l}{2} + \frac{l}{2} + \frac{l\sqrt{2}}{2} = a\\ 2l + \sqrt{2}l = 2a\\ l = \frac{2a}{2+\sqrt{2}} \implies l = a(2-\sqrt{2})\\ A=l^2=\left[a(2-\sqrt{2})\right]^2=a^2(4-4\sqrt{2}+2)\\ \therefore \boxed{\boxed{A=2a^2(3-2\sqrt{2})}}[/latex]
(Solução:swiichi adaptada)
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