valor maximo função seno

por Cobas Ter 04 Abr 2023, 14:05

Seja f(x) = 3sen(x+π/9)+5sen(x+4π/9) uma função trigonométrica definida para todo x um numero real. Então, o valor máximo de f(x) é
Resposta: 7

por al171 Ter 04 Abr 2023, 17:47

Considere \( \delta = x + \frac{\pi}{9} \):
\[
\begin{align*}
3\sin \left( x + \frac{\pi}{9} \right) + 5 \sin \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) & = 3 \sin (\delta ) + 5 \sin \left(\delta + \frac{\pi}{3} \right) \\
& = 3\sin (\delta) + 5 \sin (\delta) \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) + 5 \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \cos (\delta) \\
& = 3 \sin(\delta) + \frac{5}{2} \sin (\delta) + \frac{5 \sqrt{3}}{2} \cos (\delta) \\
& = \frac{11}{2} \sin (\delta) + \frac{5 \sqrt{3}}{2} \cos (\delta)
\end{align*}
\]
Logo, o valor máximo da expressão é
\[
\begin{align*}
f_{\max} & = \sqrt{ \left( \frac{11}{2} \right)^2 + \left( \frac{5 \sqrt{3}}{2} \right)^2 } \\
& = \sqrt{ \frac { 121 + 75 }{4} } \\
& = \sqrt{ \frac{ 196 }{4} } \\
& = \sqrt{49} \\
& = 7
\end{align*}
\]

por Cobas Sex 07 Abr 2023, 11:10

Foi justamente essa ultima parte que não consegui fazer quando foi resolver a questão. Por explicar por que o valor maximo é dado pela raiz do quadrado dos coeficientes?

por **Giovana Martins** Sex 07 Abr 2023, 11:36

Ele utilizou o truque do triângulo retângulo.

Veja aqui: https://pir2.forumeiros.com/t150465-o-truque-do-triangulo-retangulo

A propósito, seguem outros métodos de resolução questões deste tipo.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Partindo-se\ de\ f(\delta )=\frac{11}{2}sin(\delta )+\frac{5\sqrt{3}}{2}cos(\delta ):}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Pela\ Desigualdade\ de\ Cauchy-Schwarz,vem:}\\\\ \mathrm{\left ( \alpha _1^2+\alpha _2^2+...+\alpha _n^2 \right )\left ( \beta _1^2+\beta _2^2+...+\beta _n^2 \right )\geq \left ( \alpha _1\beta _1+\alpha _2\beta _2\cdot ...\cdot \alpha _n\beta _n \right )^2}\\\\ \mathrm{\left [ \left ( \frac{11}{2} \right )^2+\left ( \frac{5\sqrt{3}}{2} \right )^2 \right ][sin^2(\delta )+cos^2(\delta )]\geq \left [ \frac{11}{2}sin(\delta )+\frac{5\sqrt{3}}{2}cos(\delta ) \right ]^2}\\\\ \mathrm{\ 49\times 1\geq [f(\delta )]^2\to |f(\delta )|\leq 7\to -7\leq f(\delta )\leq 7\to \left\{\begin{matrix} \mathrm{f(\delta )=f_{min}=-7}\\ \mathrm{f(\delta )=f_{max}=7} \end{matrix}\right.}[/latex]

Por derivadas:

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Partindo-se\ de\ f(\delta )=\frac{11}{2}sin(\delta )+\frac{5\sqrt{3}}{2}cos(\delta ):}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{df(\delta )}{d\delta }=\frac{d}{d\delta }\left [ \frac{11}{2}sin(\delta )+\frac{5\sqrt{3}}{2}cos(\delta ) \right ]=\frac{11}{2}cos(\delta )-\frac{5\sqrt{3}}{2}sin(\delta )}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{df(\delta )}{d\delta }=0\to 11cos(\delta )=5\sqrt{3}sin(\delta )\to cos(\delta )=\frac{5\sqrt{3}}{11}sin(\delta )\ (I)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Mas,sin^2(\delta )+cos^2(\delta )=1\ (II).\ De\ (I)\ e\ (II),vem:}\\\\ \mathrm{A=[cos(\delta ),sin(\delta )]=\left ( \frac{5\sqrt{3}}{14},\frac{11}{14} \right ) ou\ B=[cos(\delta ),sin(\delta )]=\left ( \frac{-5\sqrt{3}}{14},-\frac{11}{14} \right ) }\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Sendo\ f(A)=f_{max}=7\ e\ f(B)=f_{min}-7} [/latex]

Uma outra solução a partir da Substituição de Weierstrass.

[latex]\\\mathrm{Seja\ t=tan\left ( \frac{\delta }{2} \right ),t\in \mathbb{R}.\ Portanto, tem-se:sin\left ( \frac{\delta }{2} \right )=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\ e\ cos\left ( \frac{\delta }{2} \right )=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}\\\\\mathrm{De\ f(\delta )=asin(\delta )+bcos(\delta )\to f(\delta )=\frac{at+b}{\sqrt{1+t^2}}\to [f(\delta )]^2=\frac{a^2t^2+2abt+b^2}{1+t^2}}\\\\\mathrm{a^2t^2+2abt+b^2=[f(\delta )]^2+[f(\delta )]^2t^2\to^2\left \{ a^2-[f(\delta )]^2 \right \}+2abt+b^2-[f(\delta )]^2=0}\\\\\mathrm{Sendo\ t\in \mathbb{R}\ \therefore \ \Delta \geq 0\leftrightarrow a^2b^2-\left \{ a^2-[f(\delta )]^2 \right \}\left \{ b^2-[f(\delta )]^2 \right \}\geq 0\leftrightarrow [f(\delta )]^2 \left \{ a^2+b^2-[f(\delta )]^2 \right \}\geq 0}\\\\\mathrm{Logo, [f(\delta )]^2\geq 0, \forall\ \delta \in\mathbb{R}. \ Por\ outro\ lado,\left | f(\delta ) \right |\leq \sqrt{a^2+b^2}\to -\sqrt{a^2+b^2}\leq f(\delta )\leq \sqrt{a^2+b^2}}\\\\\mathrm{Sendo\ a=\frac{11}{2}\ e\ b=\frac{5\sqrt{3}}{2},tem-se: -7\leq f(\delta )\leq 7}[/latex]