Colégio Naval 1988

por Smoke Qua 29 Mar 2023, 17:37

No processo da divisão do polinômio P(x), de coeficientes não nulos, pelo polinômio G(x), obteve-se, para quociente um polinômio do 4º grau e, para penúltimo resto, um polinômio do 2º grau. Considerando as afirmativas:

(I) O grau de P(x) é 6.
(II) O grau de G(x) pode ser 1.
(III) P(x) é composto de 7 monômios.

Conclui-se que:
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas III é falsa.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.

Nessa resolução não seria? o grau de q = o grau de P - grau de g. Sendo o q o quociente, P o dividendo e g o divisor? Ou seja o grau do quociente é a subtração do grau do dividendo pelo grau do divisor. Nessa questão, então teremos o grau do quociente é 4 e o grau do resto é 2. Como também sabemos que o grau do resto é menor que o grau do divisor, teremos que o grau mínimo do divisor é igual a 3, uma vez que o grau do resto é 2. Dessa maneira, o grau do polinômio P(x) é pelo menos 7. Levando a opção (I) estar incorreta. Na opção (II), o grau não pode ser do divisor g(x) não pode ser 1, uma vez que o grau do resto é 2 e pela definição temos que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor. E para a opção (III) não se pode afirmar nada, uma vez que o mínimo de coeficientes é 7 sendo o grau de P maior ou igual a 7.

Tem algum erro no meu Raciocínio? Gabarito Letra C

por gilsongb Qua 29 Mar 2023, 17:49

Se o quociente é um polinômio do 4º grau e o penúltimo resto é um polinômio do 2º grau, então o grau de P(x) é no máximo 6, pois se P(x) tivesse grau maior ou igual a 7, então o quociente teria grau 6 ou maior, e o penúltimo resto teria grau 3 ou maior, o que é uma contradição.
Por outro lado, o grau de G(x) não pode ser 6 ou maior, pois nesse caso a divisão seria trivial, com quociente zero e resto igual a P(x). Então, o grau de G(x) deve ser no máximo 5. Como os coeficientes de G(x) são não nulos, isso implica que G(x) é um polinômio do 1º ou 2º grau.
Quanto à afirmativa III, ela não pode ser concluída com certeza, pois depende dos coeficientes de P(x). Por exemplo, se P(x) = x^6 + x^4 + x^2 + 1, então o quociente da divisão por G(x) é um polinômio do 4º grau e o penúltimo resto é um polinômio do 2º grau, mas P(x) é composto de apenas 4 monômios.
Portanto, apenas a afirmativa II é verdadeira.

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