Pontos Notáveis do Triângulo

Em um triângulo acutângulo de perímetro 8, calcule o raio da circunferência circunscrita ao triângulo sabendo que é um número inteiro

Seja ABC o triangulo, O seu circuncentro e r o raio. Como ABC é acutangulo, O está no interior do triangulo. Os triangulos OAB, OAC, OBC são isósceles com os lados de medida igual sendo r. Daí pela desigualdade triangular segue que:

\( \displaystyle
\left\{ \begin{array}{l}
2r > AB\\
2r > AC\\
2r > BC
\end{array} \right. \implies 6r > AB+AC+BC = 8 \implies r > \dfrac 43\)

Como r é inteiro, segue que \(r \geq 2\).

Por outro lado, sejam \( \alpha, \beta, \gamma\) os ângulos internos de ABC e sejam a,b,c os angulos da base dos triangulos OBC, OAC, OAB. Ou seja, a,b,c são tais que

\(  \displaystyle
\left\{ \begin{array}{l}
b+c = \alpha \\
a+c = \beta\\
a+b = \gamma
\end{array} \right. \implies a+b+c = \dfrac \pi 2\)
 
Disso segue que

\( \displaystyle
\left\{ \begin{array}{l}
AB = 2 r\cos c \\
AC = 2 r\cos b \\
BC = 2 r \cos a
\end{array} \right. \implies 2r( \cos a + \cos b + \cos c) = AB+AC+BC =8 \implies r = \dfrac{4}{\cos a + \cos b + \cos c}\)

O máximo de \( f(x,y,z) = \cos x + \cos y + \cos z\)  restrito a \(x+y+z = \dfrac \pi 2\) e \( 0 \leq x,y,z \leq \dfrac \pi 2\) ocorre para x=y=z e o mínimo ocorre na fronteira da região. Assim, para a,b,c positivos vale a desigualdade:

\( 2 < \cos a + \cos b + \cos c \leq \dfrac{3 \sqrt 3}2\)

Já temos uma cota inferior para r, então precisamos apenas da primeira desigualdade:

\( r = \dfrac{4}{\cos a + \cos b + \cos c} < \dfrac 42 = 2\)

Como r é inteiro segue que r ≤ 1. Ou seja, um triangulo acutangulo com perímetro 8 nunca possui raio do circulo circunscrito inteiro.

DaoSeek escreveu:Seja ABC o triangulo, O seu circuncentro e r o raio. Como ABC é acutangulo, O está no interior do triangulo. Os triangulos OAB, OAC, OBC são isósceles com os lados de medida igual sendo r. Daí pela desigualdade triangular segue que:

\( \displaystyle
\left\{ \begin{array}{l}
2r > AB\\
2r > AC\\
2r > BC
\end{array} \right. \implies 6r > AB+AC+BC = 8 \implies r > \dfrac 43\)

Como r é inteiro, segue que \(r \geq 2\).

Por outro lado, sejam \( \alpha, \beta, \gamma\) os ângulos internos de ABC e sejam a,b,c os angulos da base dos triangulos OBC, OAC, OAB. Ou seja, a,b,c são tais que

\(  \displaystyle
\left\{ \begin{array}{l}
b+c = \alpha \\
a+c = \beta\\
a+b = \gamma
\end{array} \right. \implies a+b+c = \dfrac \pi 2\)
 
Disso segue que

\( \displaystyle
\left\{ \begin{array}{l}
AB = 2 r\cos c \\
AC = 2 r\cos b \\
BC = 2 r \cos a
\end{array} \right. \implies 2r( \cos a + \cos b + \cos c) = AB+AC+BC =8 \implies r = \dfrac{4}{\cos a + \cos b + \cos c}\)

O máximo de \( f(x,y,z) = \cos x + \cos y + \cos z\)  restrito a \(x+y+z = \dfrac \pi 2\) e \( 0 \leq x,y,z \leq \dfrac \pi 2\) ocorre para x=y=z e o mínimo ocorre na fronteira da região. Assim, para a,b,c positivos vale a desigualdade:

\( 2 < \cos a + \cos b + \cos c \leq \dfrac{3 \sqrt 3}2\)

Já temos uma cota inferior para r, então precisamos apenas da primeira desigualdade:

\( r = \dfrac{4}{\cos a + \cos b + \cos c} < \dfrac 42 = 2\)

Como r é inteiro segue que r ≤ 1. Ou seja, um triangulo acutangulo com perímetro 8 nunca possui raio do circulo circunscrito inteiro.

Esqueci de colocar:

Resp. 2