Pontos notáveis do triângulo

Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Se DOE é paralelo ao lado BC, AB = 19, AC = 21 e BC = 25, então o perímetro do triângulo ADE vale:



Linka da imagem: https://2img.net/h/oi54.tinypic.com/711yzo.jpg

Resposta: 40

olá,

tentei resolver por potência de pontos, semelhança de triângulos e não consegui.

alguém que sabe, pode dar um palpite ??

Algumas dicas:

Sejam M, P e Q os pontos de tangência com os lados BC, AB e AC
Trace os raios OM, OP e OQ ----> R

AP = AQ = a
BP + BM = b
CQ = CM = c

Note os triângulos retângulos OPD e OQE

Tentei fazer aqui, mas não consegui.

Kelvin, somos dois então

nem eu =S

têm mais dicas , elcio?

Élcio,
Não sei se errei besteira, mas estou achando um valor aproximado de 40.

O élcio já deu praticamente toda a questão.

Só basta fzer:

2a + 2b + 2c = 65
a + b + c = 65/2

AB = a + b = 19
AC = a + c = 21
BC = b + c = 25

Resolvendo ...

Iremos achar a = 15/2, b = 23/2 e c = 27/2

Sendo que para achar o perímetro falta a base do triângulo retângulo que está em AB e AC.
Nessa parte que eu fiquei com dúvida, pensei em subtrair b - a e c -a, achando 4 e 6 respectivamente.

Depois vc faz uma soma que iria dar no final 1525/38 =~ 40

Eu acredito que posso ter errado na parte de subtrair b - a e c - a.

Luis

Certamente esta subtração não pode ser feita.

Outras sugestões, já que parece que o problema é mais complexo:

1) Os senos e cossenos dos ângulos A, B e C podem ser determinados, usando lei dos cossenos.

2) Usar as propriedades do incentro O: AO, BO e CO são bissetrizes.

Neste caso, por exemplo, O^BP = O^BM = A^BC/2

A primeira forma daria muita conta.

Talvez a segunda forma dê certo.

Bem pessoal, vejam se meu raciocínio tá correto.
Pensei o seguinte:



Tracei as bissetrizes relativas ao ângulos A, B e C. Elas se encontram no centro O, que, portanto, é o Incentro. Como o incentro é equidistante aos lados do triângulo, as retas AO, BO e CO têm o mesmo comprimento. Triângulos AOB, BOC e AOC são isósceles. Angulos a, b e c são iguais.
As retas paralelas BC e DE são cortadas pela transversal BO. b e x são, portanto, alternos internos (b = x). Da mesma forma, c = x
Se b e x são iguais, o triângulo BDO é isósceles. Idem triângulo CEO
Do triângulo BDO: BD = DO. Então, o segmento ADO tem a mesma medida de AB = 19.
Do triângulo CEO: CE = EO. Então, o segmento AEO = AC = 21.

O perímetro do triângulo ADE é, portanto, a soma de AB + BC = 21 + 19 = 40.

Espero que consigam entender a explicação e o protótipo de um desenho

Link da imagem: https://2img.net/h/oi51.tinypic.com/2e49isg.jpg