(UFBA) Distância entre dois pontos
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(UFBA) Distância entre dois pontos
por luankassio Seg 20 Fev 2023, 21:33
(UFBA) Uma ponte, com formato de um arco de circunferência
e comprimento igual a 4pi/3 km, liga dois
pontos, A e B, situados em margens opostas de um
rio, conforme a figura. Sabe-se que O é o centro da
circunferência e que o ângulo AOB mede 2pi/3 rad. Calcule a distância d em km, entre os pontos A e B.
gabarito: (2*raiz de 3) km
e comprimento igual a 4pi/3 km, liga dois
pontos, A e B, situados em margens opostas de um
rio, conforme a figura. Sabe-se que O é o centro da
circunferência e que o ângulo AOB mede 2pi/3 rad. Calcule a distância d em km, entre os pontos A e B.
gabarito: (2*raiz de 3) km
luankassio- Iniciante
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Re: (UFBA) Distância entre dois pontos
por al171 Seg 20 Fev 2023, 23:36
Cálculo do raio da circunferência de centro \( O\):
\[
L = \alpha R \Leftrightarrow \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \cdot R \Leftrightarrow R = 2 \ \mathrm{km}
\]
Lei dos cossenos no \(\triangle ABO\):
\[
\begin{align*}
d^2 & = 2R^2 \left( 1 - \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right) \\
& = 2R^2 \left ( 1 + \frac{1}{2} \right ) \\
& = 3R^2
\end{align*}
\]
Logo, \( d = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{km}\).
\[
L = \alpha R \Leftrightarrow \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \cdot R \Leftrightarrow R = 2 \ \mathrm{km}
\]
Lei dos cossenos no \(\triangle ABO\):
\[
\begin{align*}
d^2 & = 2R^2 \left( 1 - \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right) \\
& = 2R^2 \left ( 1 + \frac{1}{2} \right ) \\
& = 3R^2
\end{align*}
\]
Logo, \( d = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{km}\).
al171- Fera
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