Triângulo Isósceles

por ALEXANDRE RESENDE DE SOUZ Qua 21 Set 2022, 22:24

Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Prove que as alturas, medianas e bissetrizes internas relativas aos lados AB e AC têm comprimentos iguais.
Obs.: Não tenho o gabarito. Tentei demonstrar por Pitágoras, mas as equações ficaram com mais de 10 variáveis.

por ALEXANDRE RESENDE DE SOUZ Qui 22 Set 2022, 09:06

Consegui provar!!!

Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. .

Triângulo Isósceles Tn3WHWXXOLOiLN2q1lZZ4RPrVDikT4mxBMSyxml-jJsHlIvE3mhfqAVlkjDwfOy3S4qK9916uEqBthDYtnuKnLa88ysHpwg4eE4gnC5If52X3uJE8xS5qyjI7MG9kuU0HdNE35AmSo0r07OeLLDY8dirTBDxWxQpGCK2hnjfOlWmqvySIjpbMpuBYA

A altura GC forma um ângulo de 90° no vértice G.

A altura HB forma um ângulo de 90° no vértice H.

Relação dos ângulos nos triângulos GBC e HBC: B=C, H=G=

BC é um lado comum dos triângulos GBC e HBC.

Portanto, pelo caso ALA, os triângulos GBC e HBC são congruentes. Logo as alturas GC e HB, que são lados dos triângulos GBC e HBC, têm comprimentos iguais.

Triângulo Isósceles GpkxxtbezpUtLuWhAjItmYLZFXiv3-uth3gHEBSQtjwk1qA8KcXEZRZVUuL5MeNREmkUSwvAvU6lBmRvYROizgiPPYDJYvVV3G6kgZ3eSR15l3tEENk9pzjAflRs8T-kevUJTYdhbHc3PzwiAuxUz_fn5y5gg2KVAUgVAdIqqTeYEgB6U4fSX-0OGQ

(i) AB=AC

(ii) A mediana com extremidade no vértice C passa pelo ponto médio de ABAM=BM

(iii) A mediana com extremidade no vértice B passa pelo ponto médio de ACAN=CN

(iv) Os ângulos da base de um triângulo isósceles são sempre congruentes, logo, B=C

(v) BC é um lado comum dos triângulos MBC e NBC

Por (i), (ii) e (iii), temos que AM=BM=AN=CN

Os ângulos da base de um triângulo isósceles são sempre congruentes, logo, B=C

Por (i), (ii), (iii) e (iv), os triângulos são congruentes pelo caso LAL.

Portanto, as medianas BN e CM, que são lados dos triângulos MBC e NBC, têm comprimentos iguais.

Triângulo Isósceles R3N6HANdTULb4rjotO3fhrIGYI7JYRgAzRidktJI3Sc1IO1lqhSVNLVRZ2BEwwud7_DhDlmTlbOWbB4D0YIgRGq_F0jYgJhmheiCRlk5XxrzS_A6VPfO7pXu_OkUz3kanm6e17UQpjUH9R7rZf9NQAfrENTY0Oe_I-jjj4IkmzXKOcHMzQAKtzlhXA

Os ângulos da base de um triângulo isósceles são sempre congruentes, logo, B=C

A bissetriz divide um ângulo em dois ângulos congruentes, logo, a=b e c=d

B=a+b=a+a=2a=c+d=c+c=2c=C2a=2ca=c=b=d

BC é um lado comum dos triângulos JBC e IBC

Daí, pelo caso ALA, os triângulos JBC e IBC são congruentes.

Portanto, as bissetrizes IC e JB têm comprimentos iguais.

Um trabalho matemático consiste em procurar por padrões, formular conjecturas e, por meio de deduções rigorosas a partir de axiomas e definições, estabelecer novos resultados.

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