Lançamento de projéteis.

Um objeto é lançado de tal forma que seu alcance horizontal
é igual a três vezes sua altura máxima. Determine o ângulo (em graus) que a direção do
lançamento faz a partir da horizontal. Escreva sua resposta com 3 algarismos
significativos.

Ps: a questão não possui imagem.

Seja h a altura máxima ---> Alcance: d = 3.h
Seja Vo a velocidade inicial e t o tempo para chegar na altura máxima ---> tempo do alcance = 2.t

Vertical:

Voy = Vo.senθ ---> Vox = Vo.cosθ ---> I

0 = Voy - g.t ---> t = Vo.senθ/g ---> II

h = Voy.t - (1/2).g.t² ---> h = Vo.senθ.t - (1/2).g.t² ---> III

0² = Voy² - 2.g.h ---> Vo².sen²θ = 2.g.h ---> IV

Horizontal ---> d = Vox.(2.t) ---> 3.h = 2.Vo.cosθ.t ---> V

Basta resolver o sistema de equações. Tens o gabarito?

Elcioschin escreveu:Seja h a altura máxima ---> Alcance: d = 3.h
Seja Vo a velocidade inicial e t o tempo para chegar na altura máxima ---> tempo do alcance = 2.t

Vertical:

Voy = Vo.senθ ---> Vox = Vo.cosθ ---> I

0 = Voy - g.t ---> t = Vo.senθ/g ---> II

h = Voy.t - (1/2).g.t² ---> h = Vo.senθ.t - (1/2).g.t² ---> III

0² = Voy² - 2.g.h ---> Vo².sen²θ = 2.g.h ---> IV

Horizontal ---> d = Vox.(2.t) ---> 3.h = 2.Vo.cosθ.t ---> V

Basta resolver o sistema de equações. Tens o gabarito?

Mestre, não tenho o gabarito!! Foi me dado apenas o enunciado. Esqueci de falar para adotar g=9,8 m/s ao quadrado...

De cara dá para saber que o ângulo é próximo de 45º, já que com ele obter-se-ia um alcance quatro vezes maior do que a altura, então já sabemos o que esperar do resultado final.

Sendo g = 9,8m/², podemos fazer várias equações na esperança de dar alguma coisa:

V² = Vo² + 2aS <---- quando a velocidade vertical for zero, o projétil estará em seu pico de altura
0 = Voy² - 2*9.8*S ---> Voy² = 19.6S


V = Vo + at <---- quando a velocidade vertical for zero, o projétil estará em seu pico de altura
0 = Voy - 9.8*t ---> Voy = 9.8t ---> Voy² = (9.8t)² ---> 19.6S = 96.04t² ---> 4.9t² = S


S = So + Vot + at²/2
S = Voy*t - 4.9t² ---> 4.9t² = Voy*t - 4.9t² ---> 9.8t² = Voy*t ---> Voy = 9.8t


Agora na parte horizontal do movimento...

S é o alcance vertical, então o alcance horizontal é 3S. t é o tempo que o projétil leva para chegar a seu pico de altura, que é exatamente metade do tempo total (desconsiderando forças dissipativas), então o tempo total é 2t.

3S = Vox*2t ---> 3/2 S = Vox*t ---> 3/2 * 4.9t² = Vox*t ---> 7.35*t² = Vox*t ---> Vox = 7.35t


Voy/Vox = (9.8t)/(7.35t) = 4/3 = tan(x). x é o ângulo de lançamento.

Colocando a frase anterior na voz passiva: tan(x) = 4/3 ---> x = arctan(4/3). Aproximadamente 53.13º, o que felizmente confere com a tese com a qual iniciei esta resposta.