Ortocentro
2 participantes
Página 1 de 1
Ortocentro
por LARA01 Ter 05 Jul 2022, 00:38
Em um triângulo isósceles o ortocentro está na circunferência inscrita. Determine a razão entre um lado lateral e a base.
a)1:1
b)2:3
c)3:2
d)3:4
e)4:5
resp:c
a)1:1
b)2:3
c)3:2
d)3:4
e)4:5
resp:c
LARA01- Padawan
- Mensagens : 84
Data de inscrição : 13/04/2021
Re: Ortocentro
por petras Ter 05 Jul 2022, 16:45
Gabarito errado
y = AC
x = AB = BC
r = raio círculo circunscrito
[latex]\\\mathtt\triangle BPO \sim BQI: \dfrac{BP}{BQ}=\dfrac{BO}{BI} (*) \\\triangle CPB: CP^2+BP^2=x^2(I)\\ \triangle ACP:(x-BP)^2+CP^2=y^2(II)\\ \\ \therefore De(I)e(II):BP=\dfrac{2x^2-y^2}{2x}\\ S_{\triangle ABC}=\frac{y.BT}{2}=\underbrace{p}_{\frac{2x+y}{2}}.r\implies r(2x+y)=BT\cdot y \therefore \underline{r=\dfrac{yBT}{2x+y}}\\ \\BQ=x-\dfrac{y}{2}\\ BO=BT-2r\\ BI=BT-r\\ De(*): \dfrac{\dfrac{2x^2-y^2}{2x}}{\dfrac{2x-y}{2}}=\dfrac{BT-\dfrac{2yBT}{2x+y}}{BT-\dfrac{yBT}{2x+y}}\\ Simplificando: \dfrac{2x^2-y^2}{x(2x-y)}=\dfrac{2x-y}{2x}\\ 4x^2-2y^2=(2x-y)^2 :4x^2-2y^2=4x^2+y^2-4xy\\ 4xy=3y^2 \therefore \boxed{\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}}\color{green}\checkmark[/latex]
(Solução:LuisFuentes - adaptada)
y = AC
x = AB = BC
r = raio círculo circunscrito
[latex]\\\mathtt\triangle BPO \sim BQI: \dfrac{BP}{BQ}=\dfrac{BO}{BI} (*) \\\triangle CPB: CP^2+BP^2=x^2(I)\\ \triangle ACP:(x-BP)^2+CP^2=y^2(II)\\ \\ \therefore De(I)e(II):BP=\dfrac{2x^2-y^2}{2x}\\ S_{\triangle ABC}=\frac{y.BT}{2}=\underbrace{p}_{\frac{2x+y}{2}}.r\implies r(2x+y)=BT\cdot y \therefore \underline{r=\dfrac{yBT}{2x+y}}\\ \\BQ=x-\dfrac{y}{2}\\ BO=BT-2r\\ BI=BT-r\\ De(*): \dfrac{\dfrac{2x^2-y^2}{2x}}{\dfrac{2x-y}{2}}=\dfrac{BT-\dfrac{2yBT}{2x+y}}{BT-\dfrac{yBT}{2x+y}}\\ Simplificando: \dfrac{2x^2-y^2}{x(2x-y)}=\dfrac{2x-y}{2x}\\ 4x^2-2y^2=(2x-y)^2 :4x^2-2y^2=4x^2+y^2-4xy\\ 4xy=3y^2 \therefore \boxed{\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}}\color{green}\checkmark[/latex]
(Solução:LuisFuentes - adaptada)
____________________________________________
_______________________________
"Ex nihilo nihil fit"
petras- Monitor
- Mensagens : 2062
Data de inscrição : 10/06/2016
Idade : 58
Localização : bragança, sp, brasil
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos|
|
|
