[Manipulação algébrica] - Função inversa

por Arlindocampos07 Sáb Jun 04 2022, 20:22

Obtenha a função inversa da seguinte função:

[latex]\\A=\left \{ x\; \epsilon\; \mathbb{R}\mid x\geq \frac{5}{4}\; \right \}\; \wedge \; B=\left \{ y\; \epsilon\; \mathbb{R}\mid y\geq -\frac{9}{8}\; \right \}\\\\f:A\rightarrow B\\\\f(x)=2x^{2}-5x+2[/latex]

Sei que esta segue a mesma ideia de resolução que essa abaixo, mas não estou conseguindo manipular para colocar em função de x. Alguém poderia ajudar?

[latex]\\f(x)=x^{2}-4x+3\\\\y=(x-2)^{2}-1\\\\x=\sqrt{y+1}+2\\\\f(x)^{-1}=\sqrt{x+1}+2[/latex]

por **qedpetrich** Sáb Jun 04 2022, 20:47

Olá Arlindo;

Se você perceber, podemos completar os quadrados:

$[Manipulação algébrica] - Função inversa Png$

Assim:

$[Manipulação algébrica] - Função inversa Png$

Permute x e y, isole y, essa será f⁻¹(x), analise os intervalos, tente completar aí. Smile

por Arlindocampos07 Sáb Jun 04 2022, 21:23

Quase não termino de simplificar, mas saiu! Kkkkkkkkkk

[latex]\\y=\left ( \sqrt{2}x-\frac{5}{2\sqrt{2}} \right )^{2}-\frac{9}{8}\\\\\\y+\frac{9}{8}=\left ( \sqrt{2}x-\frac{5}{2\sqrt{2}} \right )^{2}\\\\\sqrt{\frac{8y+9}{8}}=\sqrt{2}x-\frac{5}{2\sqrt{2}}\\\\\\\sqrt{2}x=\sqrt{\frac{8y+9}{8}}+\frac{5\sqrt{2}}{4}\\\\\\x=\frac{4\sqrt{\frac{8y+9}{8}}+5\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\\\\\x=\frac{\sqrt{\frac{16(8y+9)}{8}}+5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}[/latex]

[latex]\\x=\frac{\sqrt{\frac{16(8y+9)}{8}}+5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\\\\\\x=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{8y+9}+5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\\\\\\\boxed{x=\frac{\sqrt{8y+9}+5}{4}\Rightarrow\mathbf{ f(x)^{-1}=\frac{\sqrt{8x+9}+5}{4}}} [/latex]

Muito obrigado, @qedpetrich! Tinha esquecido de que, para fazer o 2 aparecer no produto notável, eu poderia usar a raiz de 2, isso realmente vai ajudar!