Manipulação algébrica e fórmula de arranjo

por Insight Seg 09 maio 2016, 16:47

Por favor, sejam pacientes. Imagino que isso deva ser algo elementar, mas eu não consigo ver como chegar disso:

P_m = m\cdot(m-1)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1 = m!

A_m,_r = m\cdot(m-1)\cdot...\cdot[m-(r-1)] = m\cdot(m-1)\cdot...\cdot(m-r+1)

A_m,_r = m\cdot(m-1)\cdot...\cdot(m-r+1)\cdot \frac{(m-r)\cdot(m-r-1)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1}{(m-r)\cdot(m-r-1)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1}

Até isso:

A_m,_r = \frac{m!}{(m-r)!}

Eu entendo que o método de multiplicar e dividir pelo mesmo termo (m-r)! é só um mecanismo pra simplificar a fórmula, mas eu não vejo como isso se deu. A forma final seria A_m,_r = \frac{m\cdot(m-1)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1}{(m-r)\cdot(m-r-1)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1}, o quê significa que eu não tenho que mexer com os termos no denominador, mas como eu me livro do (m-r+1) e do (m-r)\cdot(m-r-1) ?

por **Elcioschin** Seg 09 maio 2016, 20:07

O numerador é:

m.(m - 1).(m - 2). .... .(m - r + 1).(m - r).(m - r - 1).(m - r - 2). ... 3.2.1

Note que esta diminuindo de 1 em 1, logo vale m!

O denominador é (m - r).(m - r - 1).(m - r - 2) .... 3.2.1

Idem, logo, vale (m - r)!

por Insight Seg 09 maio 2016, 23:03

Mas m! não é m\cdot(m-1)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1 ?

No numerador temos: m\cdot(m-1)\cdot...\cdot(m-r+1)\cdot(m-r)\cdot(m-r-1)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1

De modo, que a minha idéia inicial era agrupar os termos assim:

(m-r+1)\cdot(m-r)\cdot(m-r-1)\underbrace{\cdot m\cdot(m-1)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1}_\text{m!}

Daí:

{\color{red}(m-r+1)\cdot(m-r)\cdot(m-r-1)}\cdot m!

Mas os termos em destaque persistem. Eles não são relevantes? Ou são só maneiras diferentes de se expressar uma mesma idéia? Talvez eu esteja encarando isso da maneira errada, e não seja uma questão de manipulação algébrica. Novamente, peço a paciência dos membros do fórum. Obrigado.

por **Elcioschin** Ter 10 maio 2016, 00:38

Todo produto cujos termos vão diminuindo de 1, começando em m e terminando em 1 vale m!

O numerador é exatamente isto, logo vale m!

Com o denominador acontece algo similar: ele começa em (m - r) vai diminuindo de 1 e termina em 1, logo, vale (m - r)!

É simples assim!

por Insight Ter 10 maio 2016, 11:33

Sim, mas (m-r+1), (m-r) e (m-r-1) não são termos diferentes? Por quê eu posso considerá-los como sendo parte do produto m\cdot (m-1)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1 ?

por **Elcioschin** Ter 10 maio 2016, 17:09

SÃO termos diferentes mas a variação decrescente de um para o outro vale 1:

(m - r + 1) - 1 = (m - r)
(m - r) - 1 = (m - r - 1)

É o mesmo que, por exemplo:

9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1