[Geometria Plana] - Razão de Segmentos

A imagem abaixo é produto de uma má interpretação de enunciado, porém, surgiu-me a dúvida se seria possível encontrar uma razão de AM/AB sabendo que:

[latex]\\ABCD\; \acute{e}\; is\acute{o}sceles\\A\hat{D}C=120^{\circ}\\B\hat{A}D=60^{\circ}[/latex]






Tentei estabelecer relações que colocassem AM em função de AB, mas não consegui chegar à nada favorável.

Não é possível pois falta informação de alguma dimensão linear (a, b, por exemplo):

Apaguei o ângulo β da sua figura pois β = 180º - 2.α

Elcioschin escreveu:Não é possível pois falta informação de alguma dimensão linear (a, b, por exemplo):

Apaguei o ângulo β da sua figura pois β = 180º - 2.α

Perfeito, mestre Elcio! Obrigado pela atenção!

olá Arlindo,

concordo com o Élcio, com as informações dadas não é possível definir a pedida razão AM/AB. O enunciado precisaria ainda fornecer o valor de pelo menos duas dimensões lineares. Aliás se já foi dado BÂD=60º, a informação de que o ângulo AˆDC=120º é inútil pois só poderia mesmo ser este valor.
Porém podemos definir o intervalo em que aquela razão é possível.

Seja o trapézio isósceles de base maior a, base menor b, lados c e M o ponto médio da base menor, sendo AM=x (fig. esquerda).
Queremos a razão [latex]q=\frac{AM}{AB} = \frac{x}{a}[/latex]
Sendo isósceles, o trapézio está inscrito num círculo de raio R. Acatando o ângulo de 60º na base maior, para que exista o trapézio e considerando o diâmetro horizontal desse círculo, o lugar geométrico (l.g.) que a base maior pode estar fica situado entre -30º e mais 30º, exclusive ambos (fig. direita).



Se a base AB está alçada a -30º em relação ao diâmetro horizontal, temos um triângulo equilátero pois os vértices C e D colapsam no ponto M. Neste caso, base maior a = R.√3, x=a e a razão q=1.

Se a base maior AB está alçada na posição +30º, não conseguimos motar o trapézio pois o lado c fica tangente à circunferência (devido ao ângulo de 60º na base), as bases a e b colapsam uma sobre a outra, ou seja, c=0, a = b = R.√3 mas ficaria AM = b/2 = a/2 e portanto q = 1/2.

Estas duas acima são as condições de contorno e portanto a razão ficará 1/2 < q < 1 com q ∈ R. Portanto são possíveis infinitos valores diferentes de q.

Andei fazendo umas contas para o valor de q em funçao de algumas poucas posições fáceis da base AB e, por simplicidade, apresento apenas a conclusão:



O Raimundo fez o cálculo da razão q para um trapézio particular cuja posícão da base AB que deve estar perto de +10º.

O meu ponto de vista sobre essa questão.
Enunciados incompletos dão margem a interpretações equivocadas.
Conceitos básicos de GP.
- Para um quadrilátero ser inscrito em um círculo seus ãngs opostos tem que somar  180 graus e os quatro vértices tem que estar contidos no círculo.
- Todo trapézio inscrito num círculo é isósceles.
- Fazendo um desenho GROSSEIRO com trapézios isósceles inscritos e que atendam a condição de ângs de 120 e 60 grs , constatamos que o único trapézio que nos dá um razão numérica entre os segmentos mencionados , é aquele cuja base menor é o dobro do lado não paralelo.
Sendo assim se o enunciados trata de UM trapézio isósceles não vejo falta de informação.

Muito obrigado,  @Medeiros e  @raimundo pereira! Entendo que, em se tratando de algo não muito bem formulado, possam existir diversas interpretações! De qualquer forma, foi de muita valia a contribuição de todos ao tópico, muito obrigado novamente!

raimundo pereira escreveu:- Fazendo um desenho GROSSEIRO com trapézios isósceles inscritos e que atendam a condição de ângs de 120 e 60 grs , constatamos que o único trapézio que nos dá um razão numérica entre os segmentos mencionados , é aquele cuja base menor é o dobro do lado não paralelo.

Tens certeza, Raimundo?
Eu apresentei três outras "razões numéricas" calculadas e mostrei existirem infinitas, por que você diz ser o trapézio que montaste o único possível?
Acho que estás muito distraído, kkkkk.