(UFMS 2019)Q28 - Geometria plana e Razão

Uma nova liga metálica maleável foi desenvolvida pela indústria da construção civil, a fim de obter novos designs. Uma das maneiras de produzir esses novos modelos, a partir de uma barra circular, é colocá-la em uma prensa e comprimi-la, conforme o esquema a seguir:


Suponha que a parte superior e inferior da prensa sejam perfeitamente paralelas e que as partes curvas da nova barra obtida sejam semicircunferências com a metade do diâmetro da face circular original. Suponha, ainda, que o perímetro permanece inalterado em relação ao círculo original da barra.
 
A razão da área da face comprimida pela área da face circular da barra original é igual a:
 a)
 b)
 c)
 d)
 e)
Não tenho o gabarito

No início temos uma circunferência de diâmetro 2R, seu perímetro é 2\pi R

Após a compressão, temos um retângulo no meio de lado menor R, e nos extremos duas semicircunferências de diâmetro R, que juntas podem ser consideradas uma circunferência inteira de raio \frac{R}{2}

Seja x o lado maior desconhecido do retângulo, vamos usar o fato de que o perímetro permanece constante para descobri-lo, igualando o perímetro das figuras antes e depois:

2\pi R = 2\pi\frac{R}{2} + 2x

x = \frac{\pi R}{2}

Agora podemos calcular a área total da nova figura, que será a área do retângulo e a área da circunferência formada quando se junta as duas semicircunferências dos extremos:

A = \frac{\pi R}{2}R + \pi(\frac{R}{2})^{2}

A = \frac{3\pi R^{2}}{4}

Razão entre a área comprimida e a original:

\frac{\frac{3\pi R^{2}}{4}}{\pi R^{2}} = \frac{3}{4}