[TME] - Geometria Plana + Trigonometria

No triângulo ABC (obtusângulo) da figura abaixo, determine a medida b do lado AC.

GABARITO:

Andei, andei na resolução, mas não saí do lugar. Vou deixar alguns dados que colhi ao longo da tentativa:

[latex]\\\boxed{cos(3\alpha )=\frac{27^{2}+b^{2}-48^{2}}{57b}}\\\\ \boxed{cos(\alpha )=\frac{48^{2}+b^{2}-27^{2}}{96b}}\\\\\boxed{cos(\hat{B})=-cos(4\alpha )}\\\\\boxed{sen(\hat{B})=sen(4\alpha )} [/latex]

Olá Arlindo;

Uma dica, pela Lei dos Senos:



Tente continuar, se não conseguir mande mensagem que eu termino ela. 

qedpetrich escreveu:Olá Arlindo;

Uma dica, pela Lei dos Senos:



Tente continuar, se não conseguir mande mensagem que eu termino ela. 

Não consegui terminar,  @qedpetrich 

Minha trigonometria tá bem fraca, talvez isso esteja atrapalhando nessa questão. Mas, o que tentei fazer a partir do seu resultado foi igualar [latex]-108sen^{2}(\alpha )+33[/latex] a 0, só que não consegui mais nada além de descobrir que sen([latex]\alpha [/latex]) é igual a [latex]2\sqrt{33}[/latex]


Minha última relação encontrada foi essa:

[latex]b=27\cdot 4\cdot cos(\alpha )\cdot (cos^{2}(\alpha )-sen^{2}(\alpha ))[/latex]

Pensei em substituir meu resultado para o cosseno que encontrei acima, achas que dá certo?

EDIT: A loucura bateu forte, o seno de alfa não é [latex]2\sqrt{33}[/latex] mas, sim: [latex]\frac{\sqrt{99}}{18}[/latex]

Seu resultado está totalmente errado, se pergunte sempre aos resultados chegados. Ora, como é possível um seno ser maior que 1? Uma vez que 0° < α < 180°, é inviável seno ser maior que 1.



Claramente não é 0 e nem π, se alfa assumisse tais valores a condição de um triângulo não estaria sendo respeitada.



O valor negativo foi desconsiderado, porque, alfa se encontra no 1° quadrante. Logo:







Aqui podemos utilizar a Lei dos Cossenos como intermediador para a resposta, logo:



Existem outras formas para resolver a questão, poderíamos voltar no cosseno de beta e utilizar a Relação Fundamental da Trigonometria calcular seno de beta em seguida aplicar a Lei dos Senos novamente, enfim, trigonometria existem n caminhos.

108 sen²a = 33 ---> a = 33/108 ---> sen²a = 11/36 ---> sena = √11/6 ---> cos²a = 25/36 ---> cosa = 5/6

Pode-se agora aplicar novamente a Lei dos Senos ou a Lei dos Cossenos

27/sena = b/senB ---> 27/sena = b/sen(180º - 4.a) ---> 27/sena = b/sen(4.a) --->

27/sena = b/2.sen(2.a).cos(2.a) ---> 27/sena = b/2.sena.cosa.(2.cos²a - 1) ---> 27 = b/2.cosa.(2.cos²a - 1) --->

Calcule b

ou

b² = 48² + 27² - 2.48.27.cos(4.a) ---> Calcule b

Compreendi perfeitamente,  @qedpetrich! Realmente eu não prestei atenção ao resultado que encontrei, ficarei mais atento a isso. Obrigado pela ajuda!

Fiz um malabarismo kkkkkkkkk. Mas mesmo assim, as contas estão ok, a ideia aplicada é a mesma que o Elcio, só não tão direta kkkkkk. Bom pelo menos deu pra relembrar de algumas fórmulas trigonométricas. 

outra ideia.

trace o segmento CD quebrando o ângulo de  [latex]3\alpha[/latex]  em dois de  [latex]\alpha[/latex]  e  [latex]2\alpha[/latex]. Isto provoca dois triângulos isósceles com as medidas das suas pernas conhecidas. Aplicando a lei dos cossenos no triâng. BCD obtemos o valor de cos[latex]2\alpha[/latex]; aí dá-lhe trigonometria simples e depois lei dos senos no triâng. ACD.



* ops! pequeno erro de escrita: em cos(alfa), no numerador do radicando escrevi "menos" quando o correto é "mais". Porém o resultado da conta está certo.