Moyses cap 11 exercício 6 e 7

11.6 - Considere o movimento de uma partícula de massa m num campo de forças centrais associado à energia potencial [latex]U(r)[/latex], onde [latex]r[/latex] é a distância da partícula ao centro de forças O. Neste movimento, a magnitude [latex]l=|l|[/latex] do momento angular da partícula em relação a O se conserva (Seç. 11.4). Sejam [latex](r, \theta)[/latex] as componentes em coordenadas polares do vetor de posição r da partícula em relação à origem O. (a) Mostre que as componentes em coordenadas polares do vetor velocidade [latex]v[/latex] da partícula são [latex]v_r=dr/dt[/latex], a velocidade radial, e [latex]v_\theta=rd\theta/dt[/latex]  a componente transversal da velocidade. Mostre que  [latex]l = mr v_\theta[/latex] .(b) Mostre que a energia total [latex]E[/latex] da partícula é dada por
[latex]E=\frac{1}{2}mv_r^2+V_{ef}(r)[/latex]
onde
[latex]V_{ef}=U(r)+\frac{l^2}{2mr^2}[/latex]
chama-se potencial efetivo para movimento na direção radial (0 < r < ∞). O termo  [latex]l^2/(2mr^2)[/latex] associado à energia cinética de rotação da partícula em torno do centro, é chamado de “potencial centrífugo”. Como [latex]E[/latex]  e [latex]l[/latex]  se conservam, o problema se reduz ao do “movimento unidimensional” na direção radial, na presença do potencial efetivo [latex]V_{ef}(r)[/latex]. (c) Esboce o gráfico de  [latex]V_{ef}(r)[/latex] quando[latex]U(r)[/latex] corresponde à atração gravitacional entre a partícula de massa m e outra de massa [latex]M>>m[/latex] pode ser tratada como centro de forças fixo em [latex]O[/latex].


11.7) Usando os resultados do Problema 11.6 e por analogia com a discussão do movimento unidimensional com energia E dada num potencial (Seç. 6.5), (a) Calcule,para o sistema de duas partículas em interação gravitacional do Probl. 11.6(c), a distância [latex]r_0[/latex] associada ao mínimo de [latex]V_{ef}(r)[/latex] e a energia [latex]E_0[/latex] correspondente. Mostre que [latex]r_0[/latex] é o raio da órbita circular da partícula em torno do centro de forças associada à energia total [latex]E_0[/latex] . (b) Mostre que, para [latex]0 > E > E_0 [/latex], a distância [latex]r[/latex] de forças oscila entre dois valores [latex]r_p[/latex] e [latex]r_a[/latex]. Estes valores correspondem ao periélio e ao afélio da órbita elíptica de energia [latex]E[/latex]. Calcule o semieixo maior a dessa órbita elíptica e mostre que E só depende de a (veja Figuras 10.13 e 10.14). (c) Calcule a velocidade da partícula numa órbita elíptica de semieixo maior a, quando se encontra à distância r do centro de forças. (d) Calcule a excentricidade e da órbita (Seç. 10.4) em função de [latex]a, E[/latex] e do momento angular [latex]l[/latex].


Figuras 10.13 e 10.14: