MHS em fios ( Moysés )

Um arame de comprimento 2l é dobrado ao meio, formando um ângulo de 60 graus, e é sustentado pelo vértice O, oscilando num plano vertical. Calcule o período T de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio.



Desde já, agradeço pela ajuda
gab;: 

Obs.: Os pontos vermelhos são os centros de massa de cada parte da haste.


i) Por torque temos:

[latex]\tau = -\frac{l}{2}\cdot \frac{m}{2}\cdot g\cdot \sin(30\degree + \theta) + \frac{l}{2}\cdot \frac{m}{2}\cdot g\cdot \sin(30\degree - \theta)[/latex]

[latex]\tau =\frac{l}{2}\cdot \frac{m}{2}\cdot g\cdot \left (\sin(30\degree - \theta)-\sin(30\degree + \theta) \right )[/latex]

[latex]\tau =\frac{l}{2}\cdot \frac{m}{2}\cdot g\cdot \left (-\sin {\theta}\cdot \sqrt{3} \right )[/latex]

[latex]\tau =- l\cdot m\cdot g\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \sin{\theta}[/latex]



ii) Pelo problema temos:

[latex]\ddot{\theta_{1}}=\ddot{\theta_{2}} =\ddot{\theta}[/latex]

Logo,

[latex]\tau = I_{1}\cdot \ddot{\theta_{1}} + I_{2}\cdot \ddot{\theta_{2}}[/latex]

[latex]\tau =\left ( I_{1} + I_{2} \right )\cdot \ddot{\theta}[/latex]

O momento de inercia de uma barra em torno de seu vértice é dado por I=(1/3)*m*L^2. Logo,

[latex]\tau =\left (\frac{1}{3}\cdot \frac{m}{2}\cdot l^2 + \frac{1}{3}\cdot \frac{m}{2}\cdot l^2 \right )\cdot \ddot{\theta}[/latex]

[latex]\tau =\frac{1}{3}\cdot m \cdot l^2\cdot \ddot{\theta}[/latex]



iii) Com isso,

[latex]\frac{1}{3}\cdot m \cdot l^2\cdot \ddot{\theta}=- l\cdot m\cdot g\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \sin{\theta}[/latex]

[latex]\ddot{\theta}=- \frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{g}{l} \cdot \sin{\theta}[/latex]

[latex]\ddot{\theta} + \frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{g}{l} \cdot \sin{\theta} = 0[/latex]

Para valores de θ<<1. Temos:

[latex]\ddot{\theta} + \frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{g}{l} \cdot \theta = 0[/latex]

[latex]w^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{g}{l}[/latex]

[latex]T =2\pi \cdot \sqrt{\frac{4\cdot l}{3\sqrt{3}\cdot g}} [/latex]

[latex]T =\frac{4\pi}{3} \cdot \sqrt{\frac{l\cdot \sqrt{3}}{g}} [/latex]

Aviso!

Se tu estiver estudando para vestibular, eu acho essa questão desfocada.
Se for olimpíada... ai "tá de boas".

Acho que tem uma 2ª solução, por energia.Entretanto,ela precisa usar derivada.

Lucius Draco escreveu:Obs.: Os pontos vermelhos são os centros de massa de cada parte da haste.


i) Por torque temos:

[latex]\tau = -\frac{l}{2}\cdot \frac{m}{2}\cdot g\cdot \sin(30\degree + \theta) + \frac{l}{2}\cdot \frac{m}{2}\cdot g\cdot \sin(30\degree - \theta)[/latex]

[latex]\tau =\frac{l}{2}\cdot \frac{m}{2}\cdot g\cdot \left (\sin(30\degree - \theta)-\sin(30\degree + \theta) \right )[/latex]

[latex]\tau =\frac{l}{2}\cdot \frac{m}{2}\cdot g\cdot \left (-\sin {\theta}\cdot \sqrt{3} \right )[/latex]

[latex]\tau =- l\cdot m\cdot g\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \sin{\theta}[/latex]



ii) Pelo problema temos:

[latex]\ddot{\theta_{1}}=\ddot{\theta_{2}} =\ddot{\theta}[/latex]

Logo,

[latex]\tau = I_{1}\cdot \ddot{\theta_{1}} + I_{2}\cdot \ddot{\theta_{2}}[/latex]

[latex]\tau =\left ( I_{1} + I_{2} \right )\cdot \ddot{\theta}[/latex]

O momento de inercia de uma barra em torno de seu vértice é dado por I=(1/3)*m*L^2. Logo,

[latex]\tau =\left (\frac{1}{3}\cdot \frac{m}{2}\cdot l^2 + \frac{1}{3}\cdot \frac{m}{2}\cdot l^2 \right )\cdot \ddot{\theta}[/latex]

[latex]\tau =\frac{1}{3}\cdot m \cdot l^2\cdot \ddot{\theta}[/latex]



iii) Com isso,

[latex]\frac{1}{3}\cdot m \cdot l^2\cdot \ddot{\theta}=- l\cdot m\cdot g\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \sin{\theta}[/latex]

[latex]\ddot{\theta}=- \frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{g}{l} \cdot \sin{\theta}[/latex]

[latex]\ddot{\theta} + \frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{g}{l} \cdot \sin{\theta} = 0[/latex]

Para valores de θ<<1. Temos:

[latex]\ddot{\theta} + \frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{g}{l} \cdot \theta = 0[/latex]

[latex]w^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{g}{l}[/latex]

[latex]T =2\pi \cdot \sqrt{\frac{4\cdot l}{3\sqrt{3}\cdot g}} [/latex]

[latex]T =\frac{4\pi}{3} \cdot \sqrt{\frac{l\cdot \sqrt{3}}{g}} [/latex]

Desculpa, o gabarito tá errado, tá faltando um 2 na real, já editei a mensagem

Se errei algo, provavelmente foi na parte da inercia. (já que isso foge um pouco da prova do ITA, logo não estudei à fundo)

Vou fazer por energia e ver no que dá. (depois te mando)