Números Complexos

Seja n>2 um inteiro positivo, mostre que:
[latex]\sin({\frac{\pi}{n}}).\sin(\frac{2\pi}{n})...\sin{(\frac{(n-1)\pi}{n})} = \frac{n}{2^{n-1}}[/latex]

Um amigo tinha postado essa questão, enquanto estava fazendo por algum motivo o tópico saiu do ar. Optei por repostar 
Primeiro, demonstrarei uma relação entre o ângulo central de um polígono de lado ''n'':

Pela Lei dos Cossenos:
[latex]L^2 = 2R^2 - 2R^2\cos(\theta)[/latex]
[latex]L = 2R\sqrt{\frac{(1 - \cos(\theta))}{2}}[/latex]
Onde θ = 2∏/n.

Abrindo no arco metade do seno:
[latex]L = 2Rsen(\frac{\pi}{n})[/latex]

Agora, considere o polígono gerado pelas raízes da equação:
[latex]z^n - 1 =0[/latex]

Suas raízes estão na forma cis(θ)^n=1, logo cis(θ) = cis(2k∏/n)
Podemos exprimir P0P1 como:
[latex]P_0P_1 = 2sen(\frac{\pi}{2})[/latex]
P0P2:
[latex]P_0P_2 = 2sen(\frac{2\pi}{n})[/latex]
...
[latex]P_0P_{n-1} = 2sen(\frac{(n-1)\pi}{n})[/latex]

Multiplicando todas as equações acima, temos:

[latex]P_0P_1.P_0P_2....P_0P_{n-1} = 2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}sen(\frac{k\pi}{n})[/latex]
[latex]|(1-P_1)||(1-P_2)|...|(1-P_{n-1})| = 2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}sen(\frac{k\pi}{n})[/latex]

Se provarmos que o lado esquerdo é n, o problema acaba.

[latex]x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)[/latex]
(Se não estiver familiarizado com essa igualdade, abra o parêntesis direito em soma de PG e verá que está certo)

Como P0 é raíz do parêntesis esquerdo, P1,P2,P3,...,P(n-1) são raízes do parêntesis direito, pontanto:
[latex](x^{n-1}+x^{n-2}+...+1) = (x-P_1)(x-P_2)...(x-P_n)[/latex]

Para x = 1:
[latex](1^{n-1}+1^{n-2}+...+1) = (1-P_1)(1-P_2)...(1-P_n)[/latex]
[latex]n = (1-P_1)(1-P_2)...(1-P_n)[/latex]

Finalmente:
[latex]n = 2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}sen(\frac{k\pi}{n})[/latex]

[latex]\frac{n}{2^{n-1}} = \prod_{k=1}^{n-1}sen(\frac{k\pi}{n})[/latex]