Uma questão sobre função

por LMaciel Dom 06 Fev 2022, 16:00

Seja [latex]R^{+} \rightarrow R: x \rightarrow x - \sqrt{x}[/latex]. Então [latex]f(R^{+})[/latex] é igual a:

a) R+
b) R
c)[-1/4; infinito positivo[
d) vazio
e) [-1/2; infinito positivo[

Gabarito:

Esqueci da regra das alternativas. Enfim, a questão está escrita assim no livro.

por **Rory Gilmore** Dom 06 Fev 2022, 16:20

Você digitou o enunciado incorretamente, não? E também parece que a questão é de multipa escolha (terminada em dois pontos), se for, por favor coloque todas as alternativas.

por **Rory Gilmore** Dom 06 Fev 2022, 16:41

Note que y = x - x^1/2 equivale a
y = a² - a com a = x^1/2.

Seu valor mínimo ocorre para a = 1/2 e vale y = 1/4 - 1/2 = - 1/4.

Essa função atinge valores arbitrariamente grandes quando x cresce pois x é maior que raiz quadrada de x para qualquer x maior que 1, logo sua imagem é todo real maior que - 1/4.

O enunciado ainda tem um erro na notação do final da frase, o correto deveria ser "Im(f)".

por aitchrpi Dom 06 Fev 2022, 18:45

Se você não tem os mesmos super poderes que os(as) matemáticos(as) e jornalistas da Yale, dava pra pensar em fazer assim também: se f é a inversa de g, a imagem de g é o domínio de f, então

[latex]y = x - \sqrt{x}\,\,\,\to\,\,\, \sqrt{x} = x - y\,\,\,\to\,\,\,x = x^2 - 2xy + y^2[/latex]

[latex]x^2 - x(2y+1) + y^2 = 0\,\,\,\to\,\,\,x^2 - 2x(y + \frac{1}{2}) + y^2 + \color{red}{y\,+ \frac{1}{4}} \color{black}= \color{red} y + \frac{1}{4}[/latex]

[latex]\left[x - \left(y+\frac{1}{2} \right )\right]^2 = y +\frac{1}{4}\,\,\,[/latex]

Portanto, adotando o valor negativo, já que y = 0 se x = 0,

[latex]x = y+\frac{1}{2}-\sqrt{y +\frac{1}{4}}[/latex]

E o domínio dessa função é o intervalo [-1/4, +inf[, que é a imagem da função original.

por LMaciel Dom 06 Fev 2022, 19:56

Genial, aitchrpi, obrigado pela resolução.

Obrigado também, "Lorelai Jr". A minha dúvida estava muito mais na simbologia do que na questão, eu realmente fiquei confuso com ela.