Segmentos de reta 2

por **petras** Qua 02 Fev 2022, 17:11

Sobre uma linha reta se consideram os pontos
consecutivos A, B, C e D de modo que formam uma
quaterna harmônica.
Se:

[latex]\frac{a}{AC}+\frac{b}{CD}=\frac{c}{BD}+\frac{d}{AB}[/latex]

Calcular: a + b + c + d
Resposta:

Quaterna expressa uma propriedade onde:

AB > BC

[latex]\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}[/latex]

[latex]\frac{2}{AC}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AD}[/latex]

por **petras** Ter 08 Fev 2022, 11:03

[latex]Quaterna ~Harmonica\implies :\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}\implies \frac{AB}{AC-AB}=\frac{AD}{AD-AC}\\ \frac{AC-AB}{AB}=\frac{AD-AC}{AD}\implies \frac{AC}{AB}-1=1-\frac{AC}{AD}\\ \therefore \frac{AC}{AB}+\frac{AC}{AD}=2(\div AC)\implies \frac{1}{AB}+\frac{1}{AD}=\frac{2}{AC}(I)\\ Analogamente: \frac{AD-BD}{BD-CD}=\frac{AD}{CD} \implies \frac{AD-BD}{AD}=\frac{BD-CD}{CD}\\ 1-\frac{BD}{AD}=\frac{BD}{CD}-1\therefore \frac{BD}{CD}+\frac{BD}{AD}=2(\div BD)\\ \frac{1}{CD}+\frac{1}{AD}=\frac{2}{BD}(II)\\ De(I) e (II) \frac{2}{AC}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{BD}+\frac{1}{AB}\\ Comparando : \boxed{\color{red}a+b+c+d = 2+1+2+1 = 6} [/latex]

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