Matrizes

por kayron winkell Qua 26 Jan 2022, 09:57

A partir da matriz X = [latex]\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0& 1 \end{bmatrix}[/latex] encontrou uma matriz X^k , onde k X =X.X.X. . X (produto com k fatores). Se M = X+ X + . + X²¹ e ∆ é a soma dos elementos de M, determina o valor de ∆/8.

por **Rory Gilmore** Qua 26 Jan 2022, 10:58

Temos o que segue:

[latex]X = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 0&1 \end{bmatrix}\\ \\\\X^{2}=\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 0& 1 \end{bmatrix}\\ \\\\X^{3}=\begin{bmatrix} 1 & 6\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ Podemos \: conjecturar\: que \: X^{k}=\begin{bmatrix} 1 & 2k\\ 0&1 \end{bmatrix}\\ \\ \\ [/latex]

[latex]Assim:\\ X^{21}=\begin{bmatrix} 1 & 42\\ 0& 1 \end{bmatrix}\\\\\\ X + X + X^{21}=\begin{bmatrix} 3 &46 \\ 0& 3 \end{bmatrix}\\\\ A\: soma\: equivale\: a\: S=3 + 46 + 0 + 3 = 55\\\\ Logo:\\\\ \frac{\Delta }{8}=\frac{55}{8}\\\\\\[/latex]

[latex]Prova\: da\: conjectura:\\\\ (i)\: Para\: k=1\: vale.\\\\ (ii) Seja\: valida\: para\: (k - 1),\: assim: X^{k-1}=\begin{bmatrix} 1 & 2(k-1)\\ 0& 1 \end{bmatrix}\\\\ (iii) Provemos\: que\: vale\: para\: k: \\\ X^{k} = \begin{bmatrix} 1 & 2(k-1)\\ 0& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2k\\ 0& 1 \end{bmatrix}.[/latex]

[latex]\\\\Isso\: prova\: a\: validade\: da\: conjectura\: para\: k\: natural\: diferente\: de\: zero[/latex]

Você tem o gabarito?

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