Soluções reais da equação complexa

Mostre que equação [latex](z - 2009)^{2009} - (iz + 2009)^{2009} = 0[/latex] não admite soluções reais não nulas.

Boa noite!
Veja que o exercício pede para que mostremos que a equação não assume raiz real não nula, ou seja, que ela possui apenas uma raiz real nula. Acredito que seja algo da seguinte forma:

Da equação fornecida, podemos escrever que: (z - 2009)²⁰⁰⁹ = (iz + 2009)²⁰⁰⁹ 

Pode-se aplicar módulo em ambos os lados da equação, de forma que: |(z - 2009)²⁰⁰⁹| = |(iz + 2009)²⁰⁰⁹|

* É propriedade dos módulos de complexos que |zⁿ| = |z|ⁿ *

Utilizando essa propriedade, vem: |(z - 2009)|²⁰⁰⁹ = |(iz + 2009)|²⁰⁰⁹

* Também é propriedade que |z₁|ⁿ = |z₂|ⁿ ⇔ |z₁| = |z₂|, n ∈ N *

Aplicando-a, tem-se: |(z - 2009)| = |(iz + 2009)|

Definindo z = a + bi, como |z| = √(a² + b²), vem: |(a + bi - 2009)| = |[i(a + bi) + 2009]| ⇒ |(a - 2009) + bi| =     |(2009 - b) + ai| ⇒ √[(a - 2009)² + b²] = √[(2009 - b)² + a²]

Como o exercício está interessando em raízes reais, Im(z) = 0, de forma que b =0. 

Substituindo essa informação na equação, tem-se: √[(a - 2009)²] = √[2009² + a²]

Como (a - 2009)² > 0 e 2009² + (ai)² > 0, então as raízes podem ser ignoradas: (a - 2009)² = 2009² + a².

Desenvolvendo a expressão acima: a² - 4018a + 2019² = 2019² + a² ⇒ -4018a = 0 ⇒ a = 0. 

Veja que desenvolvi a equação assumindo que b = 0 e a única solução encontrada foi a = 0 (uma raiz real nula), que é justamente o que queríamos mostrar.

Olá Gabriel,
Consegui entender perfeitamente! Obrigado pela explicação.