Flecha de segmento circular

1. ABCD é um quadrado inscrito em um círculo de raio R e flecha com medida de [latex]\frac{1}{\sqrt[3]{\pi -2}}[/latex] metros. Calcule a área do segmento circular  cuja corda é um lado do quadrado em termos de R. 

Fala, Zeis.

Seguinte:

Chamei o valor da flecha de K, só para facilitar a digitação.

Pela definição da flecha, ponto médio do arco ligado ao ponto médio da corda, temos que AE = EB e AF = FB pois arcos iguais geram cordas iguais. Então o triângulo AEB é isósceles e sua mediana é sua altura.

Ademais, ligando todos os vértices do quadrado ao centro da circunferência e descendo a altura dos triângulos formados, como está na figura, podemos encontrar o ângulo FOB = FOA = 360/8 = 45 graus. Repare, além da simetria que intui FOB = FOA, é possível verificar esse fato por serem ângulos que enxergam o mesmo comprimento de arco.

Dito isso, podemos calcular a área do segmento circular apenas calculando a área do setor e subtraindo pela área do triângulo AOB.
Cálculo da área do setor:
360 ------- π.R^2
90 -------- x
x = π.R^2/4

Área do triângulo:
AB^2 = R^2 + R^2 (pitágoras em AOB)
AB = R√2

A = b.h/2 = R√2.(R-K)/2

Logo:
Área do segmento = π.R^2/4 - R√2.(R-K)/2.