Propriedades de raízes UFSC 2020

por dedepensando Sáb 08 Jan 2022, 20:40

Questão 27, prova azul 2020

Alternativa 16.
Se a, b ∈ ℝ com b ≠ 0, então
Propriedades de raízes UFSC 2020 B9ZLLXYNmnBnAAAAABJRU5ErkJggg==

O gabarito coloca essa alternativa como incorreta.
Vi algumas explicações que diziam que a propriedade é verdadeira para quando a e b são positivos mas é incorreta para quando a ou b são negativos.

Porém, marquei a alternativa como correta seguindo a seguinte lógica:
Utilizando a = -4 e b = -2.

[latex]\sqrt{\frac{-4}{-2}} = \sqrt{+2} = \sqrt{2}[/latex]
[latex]\frac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-2}} = \frac{\sqrt{4}\cdot\sqrt{-1}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{-1}}=\frac{2\cdot i}{\sqrt{2}\cdot i}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}[/latex]

Alguém pode sinalizar onde está meu erro?

por **qedpetrich** Sáb 08 Jan 2022, 20:54

Olá dedepensando;

Perceba que pela definição temos a, b ∈ ℝ com b ≠ 0, dessa forma, os números complexos não contemplam a afirmativa. Não podemos recorrer aos imaginários, portanto em uma divisão de raízes em que a = -4 e b = -2, temos:

$Propriedades de raízes UFSC 2020 Png$

Pelo conjunto exposto, a operação é impossível! Devemos trabalhar somente com os reais.

por dedepensando Sáb 08 Jan 2022, 20:58

Obrigado qedpetrich;

Imaginava que esse era o meu erro mesmo. Acreditava que "a, b ∈ ℝ" definia que apenas os termos a e b não poderiam ser números imaginários e não que a equação por completo não pudesse recorrer ao recurso dos imaginários.

por **qedpetrich** Dom 09 Jan 2022, 00:21

Sim, faz sentido sua análise, mas como estamos lidando com um conjunto numérico como condição devemos respeitar e seguir fiel ao universo definido. Nesse caso como a, b ∈ ℝ, não convém a = -4 = 4i, assim como b = -2 = 2i, pois a unidade imaginária nem sequer é definida nesse intervalo.

i ∉ ℝ

Mas agora você já pegou a ideia, nas próximas vai tirar de letra. Uma boa questão sempre define o intervalo que se propõe a trabalhar com tais operações, essa é uma delas, confira sempre em qual universo você está lidando. Bons estudos! Smile