Soma de N. Complexos.

Boaa noite, amigos!
Preciso de uma ajuda nessa questão, pois tentei aplicar daquela teoria da Progressão Aritmética-Geométrica(PAG eu acho q é essa a sigla), porém, não tá dando muito certo não  
Segue ela:
--------------------
(Caio Guimarães - N. Complexos) Sendo w uma raiz n-ésima da unidade diferente de 1, mostre que:


Vlww!

Olá Bergamotinha OwO;

As ráizes n-esimas de 1 excluindo-se o 1 são as raízes do polinômio [latex]p(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + .... + z^{n-1} [/latex], ele pode ser obtido fazendo a divisão do polinômio de todas as raízes n-ésimas da unidade [latex]x^n -1 [/latex] por [latex]x-1[/latex].

Como w é raiz de P(z) isso implica que [latex] p(w) =1 + w + w^2 + w^3 + .... + w^{n-1} = 0[/latex]. Note que:

[latex](I) S = 1 + 2w + 3w^2 + 4w^3 + ... + nw^{n-1}

S = (1 + w + w^2 + w^3 + ... + w^{n-1}) +(w +2w^2 + 3w^3 + .... (n-1)w^{n-1})

(II)S =0 +(w +2w^2 + 3w^3 + .... (n-1)w^{n-1})

S = w(1 + 2 w + 3w^2 + 4w^3 + ... + (n-1)w^{n-2})
[/latex]

Note também que podemos juntar (I) e (II):

[latex]S - nw^{n-1} = (1 + 2 w + 3w^2 + 4w^3 + ... + (n-1)w^{n-2}) \implies

S = w(S -nw^{n-1}) \implies S = wS -nw^n[/latex]

Sabemos que [latex]w^n = 1 [/latex] devido as condições do enunciado.

[latex]S = wS -n \implies S = wS -n \implies S(1 -w) = -n \implies S = \frac{n}{w-1}[/latex]

Obs: Se durante o cálculo a gente não tivesse feito as simplificações [latex]w^n = 1 [/latex] e [latex] p(w) =1 + w + w^2 + w^3 + .... + w^{n-1} = 0[/latex], iríamos cair na fórmula geral desse tipo de sequência.

Bons estudos

Olá colega João!!
Boa noite!

Obrigado pela resolução!
Essa é praticamente a mesma dada pelo Caio no gabarito... ele manipulou o S e dps subtraiu as duas equações...

Eu tinha pensado na PAG pq, primeiramente eu vi a P.G., com o aumento do w... mas ai veio tbm o aumento dos coeficientes, então eu pensei que poderia ser ela!
Inclusive, queria te perguntar uma coisa:
1. https://www.rpm.org.br/cdrpm/73/12.html
   Eu tô usando esse site pra estudar esse tipo, "menos comum", de progressão... Queria saber se vc avaliaria ele como bom, ruim ou bem completinho na vdd... Pq eu não achei mts materiais sobre esse tipo de sequência na internet

2. Nesse mesmo site, ele deu uma fórmula grandona pra calcular a soma dos termos...
E foi justamente essa que eu apliquei... porém, deu uma expressão muito grande. Então te pergunto tbm, vc acha que daria pra aplicar ela? Assim, achei ela um pouco importante, principalmente para IME/ITA né?!


Vlww pela ajuda!

Opa Bergamotinha;

Consegui resolver usando as colinhas lá do site:

[latex]a_n = nw^{n-1} = (a + (n-1)r)q^{n-1} \implies q = w \text{ e } n = a + (n-1)r

n = a + (n-1)r \implies n(1 - r) +( r-a) = 0 \implies r = 1, a = r = 1 [/latex]
(justificativa: o polinomio p(n) deve ser identicamente nulo) p(n) = n(1 - r) +( r-a) = 0n + 0 = 0

[latex]S = a\frac{1-q^n}{1-q} + rq\frac{1 - nq^{n-1} + (n-1)q^n}{(1-q)^2} [/latex]

Fazendo as substituições de a, q e r.

[latex]\frac{1-w^n}{1-w} + w\frac{1 - nw^{n-1} + (n-1)w^n}{(1-w)^2}[/latex]

É inevitável que a gente vai precisar saber que [latex]w^n = 1[/latex]

[latex]
S = \frac{1-w^n}{1-w} + w\frac{(1 - nw^{n-1} + (n-1)w^n)}{(1-w)^2} =\frac{1-(1)}{1-w} + w\frac{1 - nw^{n-1} + (n-1)\cdot (1)}{(1-w)^2} \implies

S= 0 + w\frac{(n - nw^{n-1}) }{(1-w)^2} = n\frac{(w - w^{n} )} {(1-w)^2} = n\frac{w-(1)}{(1-w)^2} = \frac{n}{w-1}[/latex]

Se você conseguir memorizar a fórmula é lucro, mas na minha opinião é de mais valia saber deduzí-la ou pelo menos saber a lógica por trás da dedução. Se aparecer qualquer problema que exija uma linha de raciocínio semelhante, você já consegue ter uma ideia de como fazer.

Agora quanto ao exercício em si, ele pede para demonstrar a igualdade, portanto, eu não confiaria cegamente que uma banca exigente como IME/ITA aceitaria aplicação direta de fórmula da soma dos termos da PAG como demonstração, se fosse pedido para calcular a soma provavelmente serviria. É que a demonstração é algo mais fundamental (não sei explicar direito), entende?

De fato, eu nunca vi nenhum livro que mencione PAG's como um tópico teórico, ou pelo menos não me recordo, se tiver algum acredito que o do Ruffino, mas não tenho certeza. O site parece interessante, apenas pobre em exercícios, não em qualidade, eu digo em quantidade. Eu recomendaria usar em paralelo alguma outra fonte com mais exercícios.

Bons estudos

Opa João!! Bom dia!

Po cara vlw, de vdd, por ter usado essa fórmula kkkk.
Eu fiquei mt feliz quando eu consegui reconhecer que essa progressão podia ser uma PAG! Eu vou dar uma olhada no livro do Ruffino tbm, quem sabe lá tem explicando mais sobre ela!

Sobre a questão, eu creio que eu faria da primeira forma que vc fez, ou até mesmo como o Caio fez no livro(ele multiplicou todo mundo por w e depois subtraiu as equações)...
Não sei se eu ficaria tão confiante assim pra colocar essa expressão toda na prova! Porém, é sempre bom ter mais de um método para fazer né kkkk.

Obrigado pela ajuda e dedicação q ce me deu nesse tópico!
Vou postar mais hj hein kkkkk zoeira!
Abraços!