Trigonometria - Soma de Senos e Cossenos.

por Floral Fury Ter 19 Out 2021, 21:53

Dados dois ângulos complementares, A e B; e sabendo que (senA + senB)/(senA - senB) = √3
Calcule: sen(3A/5) + cos(3B)

Resp.: Sem gabarito.

Olá amigos!
Então, tentei fatorar a primeira expressão dada por meio das fórmulas das somas e subtrações de senos... porém, depois de desenvolver um pouco não consegui chegar em nenhuma relação com o que a questão pede...

Obrigado! Very Happy

por **Elcioschin** Ter 19 Out 2021, 22:29

A + B = 90º ---> senB = cosA

senA + senB ................ senA + cosA
--------------- = √3 ---> --------------- = √3
senA - senB ................. senA - cosA

Resolva e calcule tgA, senA, cosA ---> você deve achar A = 15º e B = 75º
Depois calcule senB e cosB

Tente completar

por **qedpetrich** Ter 19 Out 2021, 22:42

Olá Floral Fury;

Um possível caminho já orientado pelo Mestre Elcio:

Aplicando prostaferese:

$Trigonometria - Soma de Senos e Cossenos. Png$

$Trigonometria - Soma de Senos e Cossenos. Png$

Fazendo a divisão, temos que:

$Trigonometria - Soma de Senos e Cossenos. Png$

$Trigonometria - Soma de Senos e Cossenos. Png$

Como A e B tratam-se de ângulos complementares, temos que:

$Trigonometria - Soma de Senos e Cossenos. Png$

Logo:

$Trigonometria - Soma de Senos e Cossenos. Png$

Resolvendo para k = 0:

$Trigonometria - Soma de Senos e Cossenos. Png$

Podemos montar um sistema, portanto:

$Trigonometria - Soma de Senos e Cossenos. Png.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20A+B%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%26%20%5C%5C%20%5C%5C%20A-B%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$

Resolvendo em A:

$Trigonometria - Soma de Senos e Cossenos. Png$

Voltando em qualquer uma das duas relações podemos determinar B:

$Trigonometria - Soma de Senos e Cossenos. Png$

Calculando sen(3A/5) + cos(3B), temos:

$Trigonometria - Soma de Senos e Cossenos. Png.latex?%5C%5C%5C%5C%20%5C%5Csen%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B3A%7D%7B5%7D%20%5Cright%20%29%20+%20cos%5Cleft%20%28%203B%5Cright%20%29%20%3D%20sen%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B3.5.%5Cpi%7D%7B12.5%7D%20%5Cright%20%29%20+%20cos%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B3$

Espero ter ajudado!

por **SilverBladeII** Ter 19 Out 2021, 22:54

A+B=90
senB=cosA
sen A+senB=2sen((A+B)/2)cos((A-B)/2)=√2*cos((A-B)/2)
senA-senB=2cos((A+B)/2)sen((A-B)/2)=√2*sen((A-B)/2)

(senA + senB)/(senA - senB)=cotg((A-B)/2)=√3
tg((A-B)/2)=√3/3
então
(A-B)/2=30
A-B=60
A+B=90
então
A=75
B=15
k inteiro.
então
sen(3A/5)=sen(3(15))+cos(3(15))=
=sen(45)+cos(45)