Conjunto de solução complexos

por MestreXifu Sáb 11 Set 2021, 16:56

Olá! Estou tentando resolver o problema abaixo, onde z é um número complexo.

Código:: [latex]z \cdot |z| +2z + i = 0[/latex]

O estou chamando z de a + bi e então substituindo |z| por

Código:: [latex]\sqrt{a^2 + b^2}[/latex]

Então junto a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte imaginária:

Código:: [latex](a + bi)\cdot \sqrt{a^2 + b^2} + 2(a+bi) + i = 0 \\ \Longrightarrow (a \sqrt{a^2 + b^2} + 2a) + (b\sqrt{a^2 + b^2} + 2b + 1)i = 0 \\ \Longrightarrow (a \sqrt{a^2 + b^2} + 2a) = 0 \\ \Longrightarrow (b\sqrt{a^2 + b^2} + 2b + 1)i = 0[/latex]

Daí vem que a = 0 , já que se a não fosse nulo, então cortaríamos a na penúltima equação e chegaríamos a um absurdo.
Então na última equação temos:

Código:: [latex]b^2 + 2b + 1 = 0[/latex]

Daí teríamos b = -1 . E portanto z = -i

o problema é que isso não está batendo com a equação original.

Alguém pode falar onde errei, por favor?
Agradeço desde já Smile

por **Elcioschin** Sáb 11 Set 2021, 20:32

|z| + 2.z + 1 = 0

|a + b.i| + 2.(a + b.i) + 1 = 0

√(a² + b²) + 2.a + 1 + 2.b.i = 0

1) 2.b = 0 ---> b = 0

2) √(a² + b²) + 2.a + 1 = 0 --> √(a² + 0²) + 2.0 + 1 = 0 --> a + 1 = 0 --> a = - 1

z = - 1

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