Aplicação da série de Taylor

por Victor Luz Dom 05 Set 2021, 22:57

Uma aplicação das séries de Taylor é o cálculo da integral de uma função cuja primitiva não é conhecida como uma expressão fechada, isto é, em termos das funções elementares. Usando o polinômio de Taylor, calcule:

ps: não possuo gabarito.

por **Forken** Seg 06 Set 2021, 04:29

[latex]e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}\cdots, \forall x\in\mathbb{R}[/latex]

[latex]e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{24}-\frac{x^{10}}{120}+\cdots[/latex]

[latex]\int_{0}^{1}e^{-x^2}\;\mathrm{d}x\cong \int_{0}^{1}\left (1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{24}-\frac{x^{10}}{120} \right )\;\mathrm{d}x\cong 0,7467[/latex]

por Victor Luz Ter 14 Set 2021, 17:50

Forken escreveu:[latex]e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}\cdots, \forall x\in\mathbb{R}[/latex]

[latex]e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{24}-\frac{x^{10}}{120}+\cdots[/latex]

[latex]\int_{0}^{1}e^{-x^2}\;\mathrm{d}x\cong \int_{0}^{1}\left (1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{24}-\frac{x^{10}}{120} \right )\;\mathrm{d}x\cong 0,7467[/latex]

Como você chegou nessa conclusão, você fez a série usando MacLaurin?
Porque com Taylor teria que usar algum número, não é isso?