(Canadá)Polinômio
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(Canadá)Polinômio
por LARA01 Sex 06 Ago 2021, 17:09
Seja o polinômio p(x)=x³+3x²-x+1 de raízes a, b e c. Sabendo que o valor da expressão 1/(a²6a+9) +1/(b²-6b+9) +1/(c²-6c+9) pode ser escrito na forma p/q, onde p e q são números primos entre si. Determine o valor de p+q.
a)210
b)211
c)212
d)213
e)214
res:c
a)210
b)211
c)212
d)213
e)214
res:c
LARA01- Padawan
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Re: (Canadá)Polinômio
por Elcioschin Sex 06 Ago 2021, 20:06
Um caminho (trabalhoso):
p(x) = x³ + 3.x² - x + 1 ---> a, b, c são raízes
Relações de Girard:
a + b + c = 3 ---> I
a.b + a.c + b.c = -1 ---> II
a.b.c = 1
a² - 6.a + 9 = (a - 3)²
b² - 6.b + 9 = (b - 3)²
c² - 6.c + 9 = (c - 3)²
Na soma de frações, o mmc = (a - 3)².(b - 3)².(c - 3)²
Faça a soma e simplifique e iguale a p/q
p(x) = x³ + 3.x² - x + 1 ---> a, b, c são raízes
Relações de Girard:
a + b + c = 3 ---> I
a.b + a.c + b.c = -1 ---> II
a.b.c = 1
a² - 6.a + 9 = (a - 3)²
b² - 6.b + 9 = (b - 3)²
c² - 6.c + 9 = (c - 3)²
Na soma de frações, o mmc = (a - 3)².(b - 3)².(c - 3)²
Faça a soma e simplifique e iguale a p/q
Elcioschin- Grande Mestre
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Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: (Canadá)Polinômio
por SilverBladeII Sex 06 Ago 2021, 20:35
Vou assumir que queremos calcular
[latex]\frac{1}{(a-3)^2}+\frac{1}{(b-3)^2}+\frac{1}{(c-3)^2}[/latex]
As raízes de
[latex]q(x)=p(x+3)=x^3+12x^2+44x+52[/latex]
são, precisamente, a-3, b-3 e c-3.
Portanto,
[latex](a-3)+(b-3)+(c-3)=-12[/latex] (I)
[latex](a-3)(b-3)+(a-3)(c-3)+(b-3)(c-3)=44[/latex] (II)
[latex](a-3)(b-3)(c-3)=-52[/latex] (III)
fazendo (II)/(III), obtemos
[latex]\frac{1}{a-3}+\frac{1}{b-3}+\frac{1}{c-3}=-\frac{44}{52}=\frac{11}{13}[/latex] (IV)
e, de 2* (I)/(III),
[latex]\frac{2}{(a-3)(b-3)}+\frac{2}{(a-3)(c-3)}+\frac{2}{(b-3)(c-3)}=\frac{6}{13}[/latex] (V)
Agora fazendo (IV)^2-(V), obtemos, finalmente,
[latex]\frac{1}{(a-3)^2}+\frac{1}{(b-3)^2}+\frac{1}{(c-3)^2}=\left(\frac{11}{13}\right)^2-\frac{6}{13}=\frac{43}{169}[/latex]
Assim, p+q=212
[latex][/latex]
[latex]\frac{1}{(a-3)^2}+\frac{1}{(b-3)^2}+\frac{1}{(c-3)^2}[/latex]
As raízes de
[latex]q(x)=p(x+3)=x^3+12x^2+44x+52[/latex]
são, precisamente, a-3, b-3 e c-3.
Portanto,
[latex](a-3)+(b-3)+(c-3)=-12[/latex] (I)
[latex](a-3)(b-3)+(a-3)(c-3)+(b-3)(c-3)=44[/latex] (II)
[latex](a-3)(b-3)(c-3)=-52[/latex] (III)
fazendo (II)/(III), obtemos
[latex]\frac{1}{a-3}+\frac{1}{b-3}+\frac{1}{c-3}=-\frac{44}{52}=\frac{11}{13}[/latex] (IV)
e, de 2* (I)/(III),
[latex]\frac{2}{(a-3)(b-3)}+\frac{2}{(a-3)(c-3)}+\frac{2}{(b-3)(c-3)}=\frac{6}{13}[/latex] (V)
Agora fazendo (IV)^2-(V), obtemos, finalmente,
[latex]\frac{1}{(a-3)^2}+\frac{1}{(b-3)^2}+\frac{1}{(c-3)^2}=\left(\frac{11}{13}\right)^2-\frac{6}{13}=\frac{43}{169}[/latex]
Assim, p+q=212
[latex][/latex]
SilverBladeII- Matador
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