(Canadá) - Números Complexos
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(Canadá) - Números Complexos
por Kayo Emanuel Salvino Sáb 16 maio 2020, 15:55
Considere os números complexos x e y não nulos ,satisfazendo x² + xy +y ² = 0. Então o valor de \frac{x^{2002}}{(x+y)^{2002}} + \frac{y^{2002}}{(x+y)^{2002}} é igual a:
a) 2^(-2002) **b) -1 c) 1 d)i e) -i
**Gabarito.
Agradeço a atenção!!
a) 2^(-2002) **b) -1 c) 1 d)i e) -i
**Gabarito.
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Kayo Emanuel Salvino- Fera
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Re: (Canadá) - Números Complexos
por Elcioschin Sáb 16 maio 2020, 19:04
Um provável caminho:
x² + x.y + y² = 0 ---> : x.y ---> x/y + 1 + y/x = 0 --->
x/y + 1 + 1/(x/y) ---> (x/y)² + x/y + 1 = 0 ---> Equação do 2º grau
∆ = 1² - 4.1.1 ---> ∆ = - 3 ---> √∆ = i.√3
x/y = (- 1 ± √3.i)/2 ---> x/y = -1/2 ± i.√3/2
x² + x.y + y² = 0 ---> : x.y ---> x/y + 1 + y/x = 0 --->
x/y + 1 + 1/(x/y) ---> (x/y)² + x/y + 1 = 0 ---> Equação do 2º grau
∆ = 1² - 4.1.1 ---> ∆ = - 3 ---> √∆ = i.√3
x/y = (- 1 ± √3.i)/2 ---> x/y = -1/2 ± i.√3/2
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: (Canadá) - Números Complexos
por Kayo Emanuel Salvino Sáb 16 maio 2020, 22:07
Olá,Sr.Elcio!
Nesse caso, x/y = cis 240 = -1/2 - i*√3/2 ou x/y = cis 120 = -1/2 + i*√3/2.
Qual convém ?
Tentativa: x^2002/(xy)^1001 + y^2002/(xy)^1001 --> x^1001/y^1001 + y^1001/x^1001. Se x/y = cis 240 --> cis(240*1001) = x^1001/y^1001 = cis(120) --> -1/2 + i*√3/2 + 2/(-1+i*√3) = -1.
Analogamente,se x/y = cis 120 --> x^1001/y^1001 = cis(120*1001) = cis 240 = -1/2 - i*√3/2 --> -1/2 - i*√3/2 + 2/(-1-i*√3) = -1.
Nesse caso, x/y = cis 240 = -1/2 - i*√3/2 ou x/y = cis 120 = -1/2 + i*√3/2.
Qual convém ?
Tentativa: x^2002/(xy)^1001 + y^2002/(xy)^1001 --> x^1001/y^1001 + y^1001/x^1001. Se x/y = cis 240 --> cis(240*1001) = x^1001/y^1001 = cis(120) --> -1/2 + i*√3/2 + 2/(-1+i*√3) = -1.
Analogamente,se x/y = cis 120 --> x^1001/y^1001 = cis(120*1001) = cis 240 = -1/2 - i*√3/2 --> -1/2 - i*√3/2 + 2/(-1-i*√3) = -1.
Kayo Emanuel Salvino- Fera
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