Trigonometria

Em um parque de diversões, há duas opções de rodas-gigantes. Apesar de serem exatamente iguais, a velocidade de giro da segunda opção é o dobro da velocidade da primeira. Enquanto Eduardo prefere a primeira opção, seu irmão Marcos prefere a segunda.

Ao entrarem em suas respectivas rodas-gigantes, Eduardo e Marcos percebem que foram alocados exatamente na mesma posição e que seus percursos foram iniciados no mesmo instante.



Sabendo que a altura de Eduardo com relação ao solo em função do tempo é dada por: hE = 22 + 20.sen(pi.t/200), em que t representa o tempo em segundos, em qual instante após o início do percurso os irmãos se encontrarão pela primeira vez na mesma altura?

a) 200/6 s
b) 42 s
c) 200/3 s
d) 100 s
e) 200 s

Gabarito:

[latex]H_e= 22 + 20.\sin\left(\dfrac{\pi\cdot t}{200}\right)[/latex]. O irmão de eduardo tem período 2vz menor, sua altura em função do tempo dada por [latex]H_m= 22 + 20.\sin\left(\dfrac{\pi\cdot t}{100}\right)[/latex]. Utilizando [latex]k = \dfrac{\pi\cdot t}{200} [/latex] e resolvendo [latex]H_e = H_m[/latex]:


[latex]\begin{align*} H_e &= H_m \\~\\ 22 + 20.\sin\left(\dfrac{\pi\cdot t}{200}\right) &=22 + 20.\sin\left(\dfrac{\pi\cdot t}{100}\right) \\~\\ \sin\left(\dfrac{\pi\cdot t}{200}\right) &= \sin\left(\dfrac{\pi\cdot t}{100}\right) \\~\\ \sin(k) &= \sin(2k) \\~\\ \sin(k) &= 2\sin(k)\cos(k) \\~\\ \sin(k)\cdot\left[ 1-2\cos(k)\right] &= 0 \end{align*}[/latex]



Solução 1:


[latex]\sin(k) = 0 \implies k = \pi n, n\in \mathbb{Z}[/latex]


Solução 2:


[latex]\begin{align*}1-2\cos(k) = 0 \implies\\~\\ \cos(k) = \dfrac{1}{2} \implies \\~\\k = \dfrac{\pi}{3}+ 2\pi n \text{ ou } k = \dfrac{5\pi}{3}+2\pi n, n\in \mathbb{Z} \end{align*}[/latex]



Como ele pede a primeira vez, vou utilizar a segunda solução, [latex]k = \dfrac{\pi}{3}[/latex]. Resolvendo:


[latex]k = \dfrac{\pi}{3} \implies \dfrac{\pi\cdot t}{200} = \dfrac{\pi}{3} \implies t = \dfrac{200}{3}[/latex]

c) 200/3 s