Logaritmo Natural e Temperatura do Corpo

Newton estabeleceu
o meio ambiente obedece à seguinte equação:
T(t) = T. a+(T0-T.a).e^-kt

onde T(t) é a temperatura do corpo (em graus Celsius) no momento t (em minutos), Ta, é a temperatura do meio ambiente, To é a temperatura inicial e k é a constante de resfriamento que depende do material do qual o corpo é feito, sua massa e sua condutividade térmica. Suponha que uma pessoa prepara café e após 3 minutos a temperatura do
café é de 70°C. Ela aguarda outros 3 minutos e nesse momento a temperatura do café é de 52° C.


1. Se a temperatura do meio ambiente é de 25°C, calcule o valor de k (em função do logaritmo natural de números a determinar) e a temperatura inicial.


2. Prove que a fórmula de resfriamento desse café é.
T(t) = 25+ 75•3/5 (fração) elevado a t/3 (fração)


3 Sabendo que essa pessoa gosta de beber o café a 46°C, calcule o valor de t (com aproximação de minutos e segundos) para o qual a temperatura do café é de 46°C
(Utilize In 3 = 1, 10, In 5 = 1,61 e In 7 = 1,95.)​

Não tenho o gabarito.

Vou começar:

T(t) = Ta + (To - Ta).e^-k.t

Para t = 3 --> 70 = 25 + (To - 25).e^-3.k ---> 45 =  (To - 25).e^-3.k ---> I

Para t = 6 --> 52 = 25 + (To - 25).e^-6.k ---> 27 =  (To - 25).e^-6.k ---> II

I : II ---> 45/27 = e^-3.k/e^-6.k ---> e^3.k = 5/3 ---> 3.k = ln(5/3) --->

k = (1/3).ln(5/3) --> k = ln∛(5/3)

Tentem completar.

Elcioschin escreveu:Vou começar:

T(t) = Ta + (To - Ta).e^-k.t

Para t = 3 --> 70 = 25 + (To - 25).e^-3.k ---> 45 =  (To - 25).e^-3.k ---> I

Para t = 6 --> 52 = 25 + (To - 25).e^-6.k ---> 27 =  (To - 25).e^-6.k ---> II

I : II ---> 45/27 = e^-3.k/e^-6.k ---> e^3.k = 5/3 ---> 3.k = ln(5/3) --->

k = (1/3).ln(5/3) --> k = ln∛(5/3)

Tentem completar.

Tudo bem até aí, mas depois de achar que K = 0,17 eu não consigo encontrar a temperatura inicial.

Uma tentativa que pode ser feita:

45 =  (To - 25).e^-3.k ---> I

27 =  (To - 25).e^-6.k ---> II

I - II ---> 18 = (To - 25).(e^-3.k - e^-6.k) ---> Calculem To

@Elcioschin poderia me dar uma dica de como posso provar a questão 2. Porque através dos cálculos envolvidos na questão 1 podemos confirmar q esta é a função do problema... Queria saber como vou provar isto.

Na minha solução original e calculei e^3.k = 5/3

e^6.k = (e^3.k)² = (5/3)² = 25/9

Use estes valores na minha 2ª mensagem e calcule To

@elcioschin Sim sim. Eu consegui fazer a 1, já encontrei o k e o To. Estou em dúvida quanto a questão 2, sei que esta é a função do problema, mas como posso provar ?

Eu acho que apenas substituindo as incógnitas da fórmula original por todos os valores que você já sabe você vai acabar encontrando a fórmula que ele te dá no número 2. Mas não sei se isso é provar.

Me fala a resposta das 3 questões por favor, tô precisando muito