ITA 1998

Seja f: R → R a função definida por f(x)  = - 3a^x, em que a é um número real, 0 < a < 1. Julgue as afirmações: 


I . f(x + y) = f(x).f(y)
II. f é bijetora
III. f é crescente e f(]0,∞[) =] - 3, 0[.

I. Falsa, já que [latex] f(x+y) = -3a^{x+y}[/latex]  e  [latex] f(x)f(y) = (-3a^{x})(-3a^{y})=9a^{x+y}[/latex]

II. Falsa, pois para ser sobrejetora o conjunto imagem tem que ser igual ao contradomínio, como para todo [latex]x \in \mathbb{R}[/latex] temos que [latex]f(x)< 0[/latex], assim, [latex]Im(f) \neq \mathbb{R}[/latex]. Portanto, não é bijetora.

III. Verdadeira, pois dados [latex]x_{1}[/latex] e [latex]x_{2}[/latex] reais, com [latex]x_{1} < x_{2}[/latex] e como [latex]0< a < 1[/latex], temos:

[latex]x_{1} < x_{2} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ a^{x_1} > a^{x_2} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \  -3a^{x_1} < -3a^{x_2} \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ f(x_{1}) < f(x_{2}) [/latex]

Logo, [latex]f[/latex] é crescente.

E, como [latex]f[/latex] é crescente e [latex]f(x)< 0[/latex] para todo [latex]x[/latex] real, dado um k real qualquer tal que [latex] 0< x < k [/latex], temos

[latex]0 < x < k[/latex]

[latex]f(0) < f(x) < 0[/latex]

[latex]-3 < f(x) < 0[/latex]

Portanto, [latex] f( ] 0 , \infty   [ ) = \ \ ] -3 , 0 [ [/latex]