Questão UEM/2004

As retas tangentes à parábola x=(1/3)*(y^2+3) que passam por P(0,0) determinam um ângulo T com o vértice P. Determine (tg(T))^2 ..

A resposta é 48.. já fiz de uns 10 jeitos diferentes e sempre chego em 24 ..

Obrigado a quem tentar resolver.

Eu já postei ...

Mas sumiu, pra variar...

Temos problemas !

Mas Vamos Lá !

De novo...

Vou trocar x por y, pra não perder o costume...

A derivada de y = (1/3)*(x^2+3) é um função de y que dá, a cada x, o coeficiente angular da reta que tangencia a curva da função naquele ponto.

y'(x) = coef. angular da reta tangente ao ponto (x; y(x))

Vamos achá-la:

y' = (1/3)* 2x --> y' = 2x/3

Sejam r e s as duas retas, que passam por (0; 0), então elas não têm coeficientes lineares, e são da forma:

y = m*x

m= y'(x)= 2x/3

y = (2x/3)*x => y = 2x²/3

Agora onde tocam a parábola:

2x²/3 = (1/3)*(x^2+3)

x² = 3

x = ±√3

Logo, os coeficientes das retas são : ±2√3/3

ângulo entre duas retas:

|tg(a)| = |( m1- m2)/(1+ m1*m2)|

|tg(a)| = |(4√3/3)/(1 - 4/3)| = |(4√3/3)/(-1/3)| = 4√3

tg²(a) = 16*3 = 48

Saudações insistentes,

E vamos lá !