Transformação linear
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Transformação linear
por Omagodasexatas3,14 Sex 19 Mar 2021, 13:01
Sejam: V,U espaços vetoriais sobre os reais, subespaço S 
U e transformação linear T: V → U, prove que {x ∈ V | T(x) ∈ S} é subespaço de V.
Omagodasexatas3,14- Recebeu o sabre de luz
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Re: Transformação linear
por SilverBladeII Seg 22 Mar 2021, 21:22
Basta provarmos que qualquer combinação linear de elementos desse conjunto está no próprio conjunto.
Ora, sejam [latex]a, b[/latex] reais e [latex]x, y[/latex] elementos do conjunto dado. Então
[latex]T(ax+by)=aT(x)+bT(y)[/latex]. Por hipótese, [latex]T(x), T(y) \in S[/latex]. Como [latex]S[/latex] é subespaço, qqr combinação linear de elementos de [latex]S[/latex] pertence a [latex]S[/latex]. Dessa forma, [latex]aT(x)+bT(y)=T(ax+by)[/latex] pertence a [latex]S[/latex]. Então, por definição, [latex]ax+by[/latex] pertence ao conjunto dado. Temos o que queríamos.
Ora, sejam [latex]a, b[/latex] reais e [latex]x, y[/latex] elementos do conjunto dado. Então
[latex]T(ax+by)=aT(x)+bT(y)[/latex]. Por hipótese, [latex]T(x), T(y) \in S[/latex]. Como [latex]S[/latex] é subespaço, qqr combinação linear de elementos de [latex]S[/latex] pertence a [latex]S[/latex]. Dessa forma, [latex]aT(x)+bT(y)=T(ax+by)[/latex] pertence a [latex]S[/latex]. Então, por definição, [latex]ax+by[/latex] pertence ao conjunto dado. Temos o que queríamos.
SilverBladeII- Matador
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