Dentre os gráficos abaixo, o único que pode representar

Dentre os gráficos abaixo, o único que pode representar o polinômio p(x) = x^3 + kx^2 + x, sendo k uma constante real, é 



Resposta: (E)

Não tenho a mínima ideia de como resolver. Por favor, poderiam me explicar como se resolve?

Obrigado

Para k = 2

x³ + 2.x² + x = 0 ---> x.(x² + 2.x + 1) = 0 ---> x.(x + 1)² = 0

As raízes são:

1) x = 0 ---> o gráfico passa pela origem

2) (x + 1)² = 0 --> Raiz dupla x = - 1 --> o gráfico tangencia o eixo x em x = - 1

Mas o que não entendi, Elcio, é que a gente poderia ter usado k = -2 também, né? Daí daria um outro gráfico, com raízes 0 e +1.

a) Gráfico bem conhecido de x³, obviamente não é.

b) Mesmo gráfico da letra a mas transladado horizontalmente em k unidades, então teve apenas um acréscimo no termo ao cubo da função que agora fica do tipo (x + k)³.

c) Quando x = 1 o p(x)  = 0, portanto:

p(x) = x^3 + kx^2 + x
0 = 1^3 + k.1^2 + 1
k = -2

p(x) = x^3 + kx^2 + x = x(x² -2k +1) = x(x - 1)(x - 1)

Deveria tocar apenas duas vezes no eixo x uma vez que tem duas raízes com valor igual a 1, portanto não pode ser esse gráfico também já que toca três vezes.

d) Sabemos que p(x)  = x(x - 1)(x - 1) porque o valor do k é igual o da letra c, agora façamos o estudo do sinal:



Com ele percebemos que entre 0 < x < 1 o valor de p(x) é positivo, por isso não é esse gráfico.

e) Quando x = - 1 valor de p(x)  = 0, portanto:

p(x) = x^3 + kx^2 + x
0 = -1^3 + k.1^2 - 1
k = 2

p(x) = x^3 + kx^2 + x = x(x² + 2k +1) = x(x + 1)(x + 1)

Encosta apenas 2 vezes no eixo x e se você fizer a análise de sinal como fiz na letra d vai ver que bate com o gráfico apresentado.

Um outro modo de explicar

Para k = - 2 ---> x³ - 2.x² + x = 0 ---> x.(x - 1)² = 0 --->Raízes:

a) uma raiz simples x = 0  ---> o gráfico passa pela origem

b) Uma raiz dupla x = 1 --> o gráfico tangencia o eixo x no ponto (1, 0)

Existem dois gráficos possíveis de representar esta função: o gráfico vermelho e o gráfico azul.

Mas nenhum deles aparece nas alternativas!