(PUC-MG) EQUAÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMOS

por Leandro! Dom 18 Set 2011, 12:58

A soma das raízes da equação 4(x)^(Log 3''x)=x³ é:

a) 0

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

obs.: log 3''x = logaritmo de x na base 3; ^ = elevado a

por **Elcioschin** Dom 18 Set 2011, 14:08

Leandro

Procure usar o Editor LaTeX ou então melhorar a escrita

x^log3x = x

4*x = x³ ---> x³ - 4x = 0 ----> x*(x² - 4) = 0 ----> x*(x + 2)*(x - 2) = 0

Raízes ----> x = 0, x = 2, x = -2

Soma da raízes = 0

por Leandro! Dom 18 Set 2011, 16:19

ok, aprenderei a usar o editor latex

o gabarito da questão é letra e

acho que sua primeira linha de resolução ta errada...uma potenciação tendo um logaritmo como expoente só é igual ao logaritmando do expoente se a base da potenciação e do logaritmo do expoente forem iguais, não é?

no problema, as bases são diferentes...

por **Elcioschin** Seg 19 Set 2011, 09:44

Leandro

Você está com a razão.

Tentei pelo Excel e achei uma única raiz aproximada x ~= 1,744

Você pode, por favor, confirmar o seu enunciado?

por exemplo o 4 está multiplicando a potência x^log3x ?

por **abelardo** Seg 19 Set 2011, 16:01

$\dpi{150} 4\left ( x \right )^{\log_{3}x}=x^3$

$\\C.E. \to x>0$

Testando 1 como possível solução:

$\dpi{150} 4\cdot1^{\log_{3}1}=1^3$

$4\cdot1^0=1$

$4\neq 1$ Um não é solução.

Usando a logaritmação:

$\dpi{150} 4\cdot\left ( x \right )^{\log_{3}x}=x^3$

$\dpi{150} \log_{3}\left [4\cdot\left ( x \right )^{\log_{3}x} \right ]=\log_{3}x^3$

$\dpi{150} \\\log_{3}4+\log_{3}x^{\log_{3}x}=3\log_{3}x$

$\dpi{150} \\\log_{3}4+\log_{3}x\cdot \log_{3}x=3\log_{3}x$

$\log_{3}x=t$ Veja que fica fácil de visualizar uma equação do 2º grau.

$\log_{3}4+t^2=3t$

$t^2-3t+\log_{3}4=0$

Lembrando que a soma das raízes de uma equação do 2º grau é igual a -b/a.

$\frac{-b}{a}=\frac{-(-3)}{1}=3$

Não bate com o gabarito a minha resolução, mas foi o que pude visualizar. Como, provavelmente, já conferistes o gabarito então confiras agora a igualdade. A equação da questão proposta está igual a que escrevi com o Latex?

por Leandro! Seg 19 Set 2011, 19:25

Sim, Abelardo, a equação da questão proposta está igual ao que você escreveu com o latex.

por Leandro! Seg 19 Set 2011, 19:28

elcioschin, a equação é a que o Abelardo escreveu com o latex

por **Euclides** Seg 19 Set 2011, 19:41

As raízes são complexas e a soma é 3 mesmo, conforme solução do Abelardo. Conferi com a calculadora.

por Leandro! Seg 19 Set 2011, 19:57

euclides, concordo que a soma seja 3, mas essa é a soma de t' e t''(raízes da equação do 2º grau que surgiu)

como t=t' ou t=t'', então x'=3^t' ou x''=3^t''. Porém o cálculo dessa exponenciação é muito complicado, não sei fazê-lo.