Áreas - Analítica - Gab B

Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB passando pelo ponto P = (a,0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:
Poderiam me ajudar nessa questão?

alternativa B

mas, pelas regras do forum, você precisa digitar o enunciado -- pode (deve) deixar a figura e as alternativas.

Entendido, sou novo por aqui e não sabia ainda. Estou ciente q o gabarito é letra B, mas não consegui chegar na resposta. Ajustei o tópico, assim como recomendado.

Se você ainda não conhece as Regras é conveniente clicar no botão junto ao cabeçalho desta página e lê-las. Obrigado por ter digitado o enunciado; graças a isso outros colegas poderão encontrar a questão pelos mecanismos de busca.
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Precisamos achar toda a área para saber quanto é a metade dela. Uma forma fácil e rápida  é perceber que o quadrilátero ABCD é um trapézio retângulo (é o que foi feito no desenho abaixo), outra forma facil é dividi-lá em duas, um paralelogramo e um triângulo (isto foi feito no segundo desenho). Basta notar que os segmentos AD e BC são inclinados em 45°.


.

Perceba que o triângulo isósceles retângulo formado pela projeção de BC tem área igual a 4,5. Como queremos uma área S'=4, portanto menor do que 4,5, o ponto da abscissa a deverá ficar à direita de 2. No entanto o triângulo à direita da vertical vermelha continua sendo isósceles retangulo. Igualando sua área ao valor que desejamos a questão está morta.

Um outro modo rápido de obter a área total é este:

Muito obrigado pela ajuda!!

Mais um modo de calcular a área total S:

fiz desse jeito aqui:

SADC = S1;
S[size=10]APC = S2;[/size]
S[size=10]PCB = S3.[/size]


---> S1 + S2 = S3 ---> (pelo método do 'falso determinante: S = (|''det''|)\2):      2 + (3a -3)\2 = (15 -3a)\2 

---> 4 + 3a - 3 = 15 - 3a ---> 6a = 14 ---> a = 7\2 ≈ 2,3 ≈ 5 -2√2