Valor máximo de uma função trigonométrica

O valor máximo da função trigonométrica f(x) = √ 2 sen x + √ 2 cos x 


(A) √2. 

(B) 2. 

(C) 3. 

(D) √5 

(E) π

Gab:

Observação: Se pudessem fazer passo a passo eu ficaria bastante agradecido.

Olá Thomas!  
Questões envolvendo expressões do tipo a.senx + b.cosx possuem uma transformação famosa. Para isso, deve-se pensar num triângulo retângulo com catetos a e b. Sendo β o ângulo oposto ao cateto b, teremos que:

[latex]\\\sin\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\;\;e\;\;\cos\beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \;\rightarrow\;b=\sqrt{a^2+b^2}.\sin\beta\;\;e\;\;a=\sqrt{a^2+b^2}.\cos\beta[/latex]

substituindo os valores encontrados para a e b na expressão teremos:

[latex]\\\sqrt{a^2+b^2}.\cos\beta.\sin x + \sqrt{a^2+b^2}.\sin\beta.\cos x\\\\ =\sqrt{a^2+b^2}.\sin\left (x+\beta \right )[/latex]

Veja portanto, que expressão é sempre menor ou igual a √(a² + b²). Como no caso da questão a = b = √2, o valor máximo da função será √(a² + b²) = √(2 + 2) = 2

Olá amigos, bom dia. Ótimas resoluções, não conhecia essa transformação famosa Victor011, obrigado por falar, agora creio que não erro mais questões desse tipo.