Prove a seguinte questão de fator

Mostre que se n é composto, então o número R(n), definido por R(n) = ((10^n) − 1)/9 , também é composto. Dica: se k é fator de n então R(k) é fator de R(n).

Se n é composto, podemos escrever n = d.k, onde d e k são naturais maiores que 1, de modo que k é um fator de n. Agora usando a dica, analisemos R(n) e R(k):

[latex]\\\left\{\begin{matrix}R(n)=\frac{10^n-1}{9}\\R(k)=\frac{10^k-1}{9} \end{matrix}\right.\;\rightarrow\;\frac{R(n)}{R(k)}=\frac{10^n-1}{10^k-1}=\frac{10^{k.d}-1}{10^k-1}=\frac{(10^k)^d-1^d}{10^k-1}[/latex]

Agora vamos usar a seguinte fatoração algébrica:

[latex]\\a^d-b^d = (a-b)(a^{d-1}+a^{d-2}b^{1}+...+a^{1}b^{d-2}+b^{d-1}) \\\\\;\rightarrow\;\frac{a^d-b^d}{a-b}=a^{d-1}+a^{d-2}b^{1}+...+a^{1}b^{d-2}+b^{d-1}[/latex]

Note que essa é exatamente nossa expressão encontrada, para o caso em que a = 10^k e b = 1. Substituindo na expressão anterior, teremos:

[latex]\\\frac{R(n)}{R(k)}=\frac{(10^k)^d-1^d}{10^k-1}=10^{k.(d-1)}+10^{k.(d-2)}+...+10^{k}+1=D\;,\;D\in\mathbb{N}\;e\;d>1 \\\\\;\rightarrow\;R(n)=D.R(k)\;\rightarrow\;R(n)\;\text{\'e composto!}[/latex]

Veja que na última linha utilizamos que R(k) é natural. Isso pode ser visto facilmente, uma vez que o numerador de R(k) é da forma 999...99 e o denominador é 9.