Volume máximo de um paralelepípedo inscrito no octaedro

Calcule o maior volume possível para um paralelepípedo retângulo de bases quadradas inscrito em um octaedro regular ABCDET de aresta "a", sabendo que uma das bases do paralelepípedo é cortada ortogonalmente em seu centro pela altura EF da pirâmide ABCDE e que um dos vértices dessa base é ponto da bissetriz EG do ângulo AÊB.

GABARITO = (((2)^(1/2))*a³)/9

Faça um bom desenho, seja ABCD a base quadrada de cada pirâmide, de centro O e V um dos vértices. 

Seja x o lado da base, de centro A e 2.y a altura do paralelepípedo (OA = y)

Apótema de cada face lateral = H ---> H = a.√3/2

Altura de cada pirâmide: OV² = H² - (a/2)² --> OV² = a²/2 --> OV = a.√2/2  

AV = OV - OA ---> AV = a.√2/2 - y

Semelhança de triângulos: AV/(x/2) = OC/(V/2) ---> y = a.√2/2 - x.√2/2

V = x².(2.y) --> V = x².(a.√2/2 - x.√2/2) --> V = (a.√2/2).x² - (√2/2).x³

Derivando: V' = x(a.√2 - x.3√2) ---> V' = 0 ---> x = a/3

y = a.√2/2 - x.√2/2 ---> y = a.√2/2 - (a/3).√2/2 ---> y = a.√2

Vmáx = x².2.y ---> Vmáx = (a/3)².(a.√2) --> Vmáx = √2.a³/9

Quando foi feito a derivação e igualado a 0, o ponto crítico deveria ser x = 2a/3, quando substituo esse resultado na função de volume o resultado dá diferente. O equivoco realizado está na derivada do segundo termo, pois o certo seria (3x²*(2)^(1/2))/2.

Essa foi uma solução que eu pensei.

Concordo contigo

Eu digitei erradamente no cálculo do volume, esquecendo do 2 antes do y. O correto é:

V = x².2.y --> V = x².2.(a.√2/2 - x.√2/2) --> V = (a.√2).x² - (√2).x³

Derivando: V' = x.(a.2.√2 - x.3√2) ---> V' = 0 ---> x = 2.a/3

Neste caso o gabarito estaria errado.

Analisando ainda sua resolução por completo, eu acredito que não foi respeitado a condição de que o um dos vértices do paralelepípedo deve estar sobre a bissetriz EG do ângulo AÊB, pois com esse ponto crítico x = 2a/3 o volume dá negativo, acredito que a solução correta é a que eu mostrei na imagem acima.