Somatórios

por José Gilvan Jr. Qui 19 Dez 2019, 16:28

Encontre: \sum_{k=1}^{n} k2^{k}

por **Vitor Ahcor** Seg 23 Dez 2019, 16:31

Olá,

Seja x = \sum_{k=1}^{n}2^{k+1} = 2^2*(2^{n}-1)

Derivando, chegamos em:

x' = \sum_{k=1}^{n}(k+1)*2^k = \sum_{k=1}^{n}k*2^k + \sum_{k=1}^{n}2^k

\therefore x'=\sum_{k=1}^{n}k*2^k + 2*(2^n-1)

Porém, também temos que:

x' = [2^2*(2^{n}-1)]' = n*2^{n+1}

Igualando as equações obtidas, encontramos o valor da soma pedida:

\sum_{k=1}^{n}k*2^k + 2*(2^n-1) = n*2^{n+1}

\therefore\sum_{k=1}^{n}k*2^k = n*2^{n+1} - 2*(2^n-1).

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