combinatoria

Quantos inteiros entre 1 e 10000 tem a soma de seus algarismos igual a 23 ???

Olá, Fábio

Estou de saída agora, mas penso que uma ideia seja pensar em combinação completa (ou combinação com repetição).

Qlq coisa apareço aí mais tarde.

Abs.

Mateus Meireles escreveu:Olá, Fábio

Estou de saída agora, mas penso que uma ideia seja pensar em combinação completa (ou combinação com repetição).

Qlq coisa apareço aí mais tarde.

Abs.

 É isso mesmo combinação com repetição e soluções da equação linear de coeficientes unitários.

x1+x2+x3+x4 = 23

Eita!

Pensando melhor no problema acho que isso tá errado..

Tinha imaginado fazer x₁ + x₂ + ... + x₉ = 23, em x_n representa qnts vezes o algarismo n aparece. Mas o problema é que a gente conta x₁ = 20, por exemplo, como solução, e isso foge da restrição do problema. É uma ideia boa para uma soma menor, como 5.

Tendo um tempinho volto aqui.

Exemplos para números de três algarismos

599, 689, 698, 779, 788, 797, 869, 878, 887, 896, 959, 968, 977, 986, 995

Olá, vou seguir a ideia do colega Mateus.

Inicialmente, notemos que só há dois casos possíveis: 

Caso I : O número possuí 3 algarismos

Seja n número de soluções de a + b + c = 23 .: n = C(25,23) = 300.

Porém, como já dito pelo colega Mateus, há alguns casos a se desconsiderar

i) Pelo menos um algarismo ultrapassa o valor 9: a' +10 + b + c = 23

O número de soluções n' desse caso é dado por : n' = C(15,3)*3 = 315

ii) Dois algarismos ultrapassam o valor 9: a'+10+b'+10+c = 23

O número de soluções n'' desse caso é dado por : n'' = C(5,3)*C(3,2) = 30

Logo, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o número de soluções N, no qual nenhum algarismo ultrapassa o valor 9 e cuja soma é 23 é dado por: N = 300 - 315 + 30 = 15.

Caso II : O número possuí 4 algarismos

Seja n''' número de soluções de a + b + c + d = 23 .: n''' = C(26,23) = 2600.

De modo análogo ao caso anterior, precisamos desconsiderar alguns casos.

i) Pelo menos um dos algarismos ultrapassa o valor 9 : a'+10+b+c+d = 23

O número de soluções n'''' desse caso é dado por : n'''' = C(16,13)*4 = 2240

ii) Dois algarismos ultrapassam o valor 9: a'+10+b'+10+c+d = 23 

O número de soluções n''''' desse caso é dado por : n''''' = C(6,3)*C(4,2) = 120

iii) O primeiro algarismo é o zero: 0 +_ +_ +_ = 23 . Note que esse caso é idêntico ao caso I. Dessa forma, existem 15 casos.

Logo, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o número de soluções N', no qual nenhum algarismo ultrapassa o valor 9 e cuja soma é 23 é dado por: N' = 2600 - 2240 + 120 - 15 = 465.

Dos casos I e II, temos que o número de inteiros entre 1 e 10000 que têm a soma de seus algarismos igual a 23 é dado por N+N' = 480.

Obs.: Caso eu tenha cometido algum vacilo, por favor, avisem-me para eu corrigi-lo. 

Parabéns Vitor você acertou.    GB=480

Muito bom, Vitor.